Inwendige en uitwendige directe som

Ik snap het verschil niet tussen de uitwendige en inwendige directe som van vector(deel)ruimten. In mijn cursus staat dat een uitwendige directe som soms ook een inwendige directe som is.

Ik snap de definities gewoon niet erg goed. Misschien dat een voorbeeld veel zou verklaren.

Jan Ro
Student universiteit België - zondag 13 december 2015

Antwoord

Ik heb die termen nog niet eerder gezien maar ik kan raden naar wat bedoeld wordt.
Bij een inwendige directe som denk ik aan twee deelruimten $A$ en $B$ van een grotere vectorruimte $V$; de som $A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\}$ is een deelruimte van $V$ en als voor elke $x\in A+B$ er precies één $a\in A$ en $b\in B$ zijn met $x=a+b$ dan heet $A+B$ een directe som. Dat kun je karakterizeren met $A\cap B=\{0\}$. Dus de som van de $x$-as en de lijn gegeven door $y=x$ in het platte vlak ($\mathbb{R}^2$ dus) is een directe. Ik zou dat een inwendige directe som kunnen noemen omdat $A$ en $B$ beide al deel zijn van een grotere vectorruimte.
Vermoedelijk betekent uitwendige directe som dat je twee vectorruimten $V$ en $W$ heb die niet samen in een grotere vectorruimte zitten. In dat geval moet je de directe som zelf maken; dat doe je door van het cartesisch product $V\times W$ een vectorruimte te maken: alle operaties coördinaatsgewijs definiëren.
Als dat laatste met bijvoorbeeld $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^4$ uitvoert krijg je een vectorruimte die isomorf is met $\mathbb{R}^7$.

kphart
zondag 13 december 2015

©2001-2024 WisFaq