Constructie van een cirkel die 2 cirkels orthogonaal snijdt en een derde onder

Opgave: Gegeven zijn 2 snijdende cirkels (C1) en (C2) alsook een derde cirkel (C3) die de vorige 2 niet snijdt. Zoek dan de cirkel die (C1) en (C2) orthogonaal snijdt en (C3) onder een hoek 45° snijdt.

Mijn bevindingen: Noem de snijpunten van (C1) en (C2) de punten A en B, dan is AB alvast de machtlijn van die beide cirkels.
Daar de gevraagde cirkel (C1) en (C2) loodrecht snijdt, ligt het middelpunt N van de gevraagde cirkel zeker al op de machtlijn AB (maar wel buiten het lijnstuk AB dat deel uitmaakt van AB: zie theorie).
Ik bepaalde dan ook de machtlijn van (C2) en (C3) en op die manier vond ik het machtpunt M van de drie gegeven cirkels. Ik koos dan M als inversiecentrum en als straal van de inversiecirkel koos ik de vierkantswortel uit de macht van M t.o.v. de 3 gegeven cirkels.
Dit heeft dan tot gevolg dat de drie cirkels in zichzelf worden omgezet, door die inversie, aangezien de inversiecirkel de drie gegeven cirkels orthogonaal snijdt.
Ik tekende dan de raaklijnstukken MD en ME aan (C3). Langs de boog DE gelegen op (C3), moet er dan zeker een punt Y te vinden zijn waar de straal NY van de gezochte cirkel en de straal O3Y van (C3) een hoek maken van 45°.
Tot hiertoe is enkel geweten dat N gelegen is op AB, ofwel net iets boven M ofwel er net iets onder.

VRAAG: Graag had ik tip gekregen om de exacte positie van N op AB te bepalen?
Tot hiertoe werkte ik met een schatting die wel de hoek 45° garandeerde met (C3), maar de cirkel in mijn oplossing maakte dan niet meer exact een hoek van 90° met (C1) en (C2).
Ik realiseer me ook dat ik misschien een verkeerde keuze van inversiecentrum heb gekozen, maar hetgeen ik koos leek me het meest logische, aangezien er drie gegeven cirkels waren....
Hartelijk dank voor de medewerker of medewerkster van WisFaq, die bereid is mij te helpen met een cruciale tip. Ik ben er mij ook ten volle van bewust, dat niet elke vraag een antwoord garandeert en ik aanvaard dit ook!

Yves D
Docent - dinsdag 20 oktober 2015

Antwoord

Hallo Yves,

Ik heb een geheel andere werkwijze in gedachten:
- Neem A of B als centrum van inversie. Dan gaan (C1) en (C2) over in twee snijdende lijnen l1 en l2 met snijpunt S. Cirkels met middelpunt S zijn cirkels die deze twee lijnen loodrecht snijden.
- Cirkel (C3) gaat over in beeldcirkel (C4). We moeten nu op zoek naar een cirkel met middelpunt S die (C4) onder 45° snijdt. Dat betekent dat de hoek middelpunt-raakpunt-middelpunt 45° of zijn complement 135° moet zijn.
- Inverteer de gevonden cirkel(s) terug en je hebt het gevraagde.

Met vriendelijke groet,

donderdag 22 oktober 2015

©2001-2024 WisFaq