\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bewijs oplossen met volledige inductie

Geg: n ϵ N_0
T.B.: 3(2n+1)+2(n-1) is een zevenvoud
ik kan wel 1 invullen, veronderstellen dat het geldt voor k mlaar dan zit ik vast als ik het moet bewijzen voor k+1

jelle
3de graad ASO - zaterdag 2 mei 2015

Antwoord

Hallo Jelle,

Je hebt al gezien dat n=1 een zevenvoud oplevert. Je weet ook al dat we veronderstellen dat dit een zevenvoud is:

q75489img1.gif

Nu gaan we bekijken wat de formule oplevert wanneer we n=k+1 invullen:

q75489img2.gif

We gaan nu proberen om deze formule op zo'n manier te herleiden dat we de machten van de eerste formule terugkrijgen. We krijgen dan:

q75489img3.gif

Geheel rechts zien we het rechter deel van de oorspronkelijke formule, vermenigvuldigd met 2. Helaas is het linker deel vermenigvuldigd met 9. Die factor 9 splitsen we op in 7 en 2:

q75489img4.gif

zodat we krijgen:

q75489img5.gif

Rechts zien we nu 2 keer de eerste formule. Deze eerste formule is een zevenvoud (dat was de veronderstelling), dan is 2 keer deze formule ook een zevenvoud.
Het linker deel bevat de factor 7, en is dus ook zeker een zevenvoud. het geheel is dan ook een zevenvoud.


zaterdag 2 mei 2015

©2001-2024 WisFaq