Sinusfunctie

De vraag is als volgt:

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking sin(10sin(x))= 0 in het interval [0,10$\pi$]?

Mijn vermoeden was dat wanneer 10sin(x) nul wordt de sinus daarvan ook nul zal worden. Zo is het beeld van alle k·$\pi$ als x waarden nul (k behoort tot de gehele getallen).

Maar als ik de grafiek teken in WolframAlpha dan zie ik dat er veel meer nulpunten zijn. Ik vraag me af hoe dit komt en hoe ik dit (algebraïsch) zou kunnen berekenen.

Alvast bedankt

Henk
3de graad ASO - zaterdag 15 november 2014

Antwoord

Dat gaat het best door het interval $[0,10\pi]$ in intervalletjes ter lengte $\frac12\pi$ te verdelen: telkens $[\frac k2\pi,\frac{k+1}2\pi)$; op elk van die intervallen is $10\sin x$ strikt stijgend of dalend en is het tellen van de oplossingen eenvoudig. In $[0,10]$ heb je vier veelvouden van $\pi$, namelijk $0$, $\pi$, $2\pi$ en $3\pi$ en dat levert je vier oplossingen van je vergelijking.
Algebraisch is er niet veel mee te doen; in het interval $[0,\frac12\pi)$ krijg je $\arcsin\frac k{10}\pi$, voor $k=0,1,2,3$. Die kun je opschuiven en zo de andere oplossingen creeren.

kphart
zaterdag 15 november 2014

©2001-2024 WisFaq