De derdemachtswortel van twee is irrationaal

Toon aan dat er geen natuurlijke getallen a,b bestaan zodat

a/b = derdemachtswortel 2

Hoe toon ik dit aan?

krishn
Student universiteit - maandag 19 mei 2014

Antwoord

We spreken af dat de breuk a/b is vereenvoudigd. Je kunt immers elke breuk vereenvoudigen. Dus $ ggd(a,b) = 1 $

Stel nu eens dat het wel zo is dus:
$
2^{\frac{1}{3}} = \frac{a}{b} \Rightarrow 2 = \frac{{a^3 }}{{b^3 }} \Rightarrow 2b^3 = a^3
$

Dit betekent dat a een even getal moet zijn. Immers het linkerlid is even en een oneven getal tot een macht is een oneven getal. dus a is even a=2k

$
2b^3 = 8k^3 \Rightarrow b^3 = 4k^3
$

Maar dan moet ook b even zijn. Dit is in tegenspraak want dan $ ggd(a,b) \ne 1 $

Dus de stelling dat het wel waar is, is onwaar.

mvg DvL

DvL
maandag 19 mei 2014

©2001-2024 WisFaq