Irrationale getallen

Beste,

Ik dien iets te besluiten over het aantal rationale getallen vergeleken met het aantal irrationale getallen. Ze zeggen dat we hiervoor eerst best aantonen dat er tussen elk koppel irrationale getallen minstens 1 rationaal getal zit (dit heb ik reeds kunnen aantonen).

Verder dienen we ook aan te tonen dat er tussen twee rationale getallen telkens minstens één irrationaal getal ligt?

Indien ik dan ook het tweede deel van dit bewijs zou bewezen hebben, zie ik niet goed wat ik hierover dan kan besluiten...

Alvast bedankt voor de hulp op deze twee vragen!

Jolien
Student universiteit België - dinsdag 18 februari 2014

Antwoord

Iets beter is het te bewijzen dat tussen elk tweetal reële getallen een rationaal getal ligt; dan volgt de tweede bewering door, gegeven $x$ en $y$ met $x $<$ y$ een rationaal getal $q$ te nemen tussen $x/\sqrt2$ en $y/\sqrt2$; dan ligt $q\sqrt2$ tussen $x$ en $y$.
Op zich kun je uit deze twee beweringen niets concluderen over de grootte van de ene verzameling ten opzichte van de andere. Dat kost meer werk. Er zijn meer irrationale dan rationale getallen, in de volgende zin: $q\mapsto q+\sqrt2$ is een injectieve afbeelding van $\mathbb{Q}$ naar $\mathbb{P}$ (de verzameling irrationale getallen wordt vaak met $\mathbb{P}$ aangeduid), maar er is geen injectieve afbeelding van $\mathbb{P}$ naar $\mathbb{Q}$.
Zie bijvoorbeeld de eerste pagina's van het dictaat bij de cursus onder de link.

Zie Verzamelingenleer (Leiden)

kphart
dinsdag 18 februari 2014

©2001-2024 WisFaq