Voortgebrachte delen van groepen

Kan je een voorbeeld geven van een groep die kan voortgebracht worden door 1202 elementen, maar niet door minder?
Ik heb al zeer lang zitten zoeken, maar ben nog steeds niet tot een antwoord gekomen. Alle Diedergroepen worden voortgebacht door {a,b}. Z en N,+ worden voortgebrach door {1}, maar een groep dat door minstens 1202 elementen wordt voortgebracht ken ik niet...

Jolien
Student universiteit België - zondag 10 november 2013

Antwoord

Beste Jolien,

Allereerst wil ik je erop wijzen dat (N,+) géen groep is, vermits je geen inversen (in dit geval: tegengestelden) hebt. (Z,+) is natuurlijk wel een groep, vermits je voor elke z in Z als inverse het getal -z hebt.

Een "alledaagse" groep die is voortgebracht door 1202 (waarom juist 1202?) elementen ken ik natuurlijk niet, maar je kan heel makkelijk een gewenste groep bekomen door producten te nemen. Stel dat G een groep is die voortgebracht wordt door één element. Dan wordt G x G voortgebracht door 2 elementen (en niet minder), G x G x G door 3 elementen, enz... Dus $\prod_{i=1}^{1202}G$ is een groep die wordt voortgebracht door 1202 elementen, en niet door minder.

Of als je graag met dihedergroepen werkt (voortgebracht door 2 elementen) kan je een groep $\prod_{i=1}^{601}G_i$ nemen, waarbij elke $G_i$ een dihedergroep is.

Zo lang je er maar voor zorgt dat de som van het aantal voortbrengende elementen van alle groepen die je in je product neemt, gelijk is 1202, is het een goed voorbeeld.

Groeten,
Christophe

cs
zondag 10 november 2013

©2001-2024 WisFaq