Constructie parallellogram met gegeven middelpunt in een vierhoek

Reeds enkele weken ben ik aan het nadenken over de volgende constructie: "Hoe construeer je een parallellogram MNPQ met gegeven middelpunt O, zodanig dat elke van die hoekpunten gelegen is op een zijde van een gegeven vierhoek ABCD?"

Enkele elementen waaraan ik heb gedacht en heb vast gesteld:
Ik dacht o.a. aan de stelling van Varignon, de stelling van Van Aubel alsook de stelling: "In een vierhoek zijn de beide middellijnen en de verbindingslijn van de middens der diagonalen concurrent" bleken niet te helpen.
Ik maakte ook een figuur waar ik even omgekeerd te werk ging, nl. eerst het parallellogram tekenen en vervolgens de vierhoek tekenen, zodanig dat elk hoekpunt van het parallellogram op een zijde ligt van de vierhoek. Hieruit kon ik al zien dat er in feite oneindig veel vierhoeken zijn die allemaal corresponderen met hetzelfde parallellogram.
Hopelijk kunnen jullie mij een belangrijke hint geven die ik wellicht over het hoofd heb gezien. Bedankt bij voorbaat!

Yves D
Docent - donderdag 24 oktober 2013

Antwoord

Dag Yves,
Weer een leuk probleem!
Je kan gebruik maken van het feit dat de diagonalen van een parallellogram elkaar in twee gelijke delen verdelen en dat moet het gegeven punt O worden.
Je zal dus door O twee lijnen moeten trekken die overstaande zijden van de vierhoek zodanig snijden, dat O het midden is van de snijpunten op die overstaande zijden.
Bepaal het snijpunt van b.v. AB en CD=P. Bepaal een punt Q op OP, zodanig dat OP=OQ. Construeer nu een parallellogram door P en Q, met zijden op de lijnen AB en CD. Daarmee vind je de hoekpunten van het te construeren parallellogram op de zijden AB en CD. Herhaal dit proces met de lijnen AD en BC.

Je kan zo die verschillende parallellogrammen construeren.
Succes,
Lieke.

ldr
vrijdag 25 oktober 2013

©2001-2024 WisFaq