\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Convolutieproduct van arithmetische functies

Hallo,

ik ben bezig met huiswerk voor Getaltheorie, en ik heb veel moeite met convolutieproducten van arithmetische functies.

Zo moet (Ik * Ik)(n)= d.nk, waarbij d het aantal delers van n is, en Ik(n)=nk

Ik weet dat het convolutieproduct van 2 arithmetischefuncties multiplicatief is, en dus is het voldoende om het voor de priemmachten van n te bewijzen is.

Dus stel n=(p1^r1)*(p2*r2)*..*(ps^rs)

Dan (Ik * Ik)(pi^ri)=åIk(pi^li)Ik(pi^(ki-li)) (waarbij l loopt van 0 tot k) = åpi^ski.

Ik heb niet het idee dat ik hiermee verder kom, en dat ik dit gewoon niet goed aanpak.

Hoe pak ik zo'n opgave aan?

Idem voor (m * I1(n) [=f(n)], waarbij m de Möbius-functie en f de Euler-functie.

Excuses voor het rommeltje.

Raymon
Student universiteit - zondag 15 september 2013

Antwoord

Probeer het met behulp van de definitie:
$$
c(n) = \sum_{i\cdot j=n}a(i)\cdot b(j) = \sum_{i\mathrel|n}a(i)\cdot b(\frac ni)
$$schrijf dat eens uit voor $a(n)=b(n)=n^k$.

Zie Wikipedia

kphart
maandag 16 september 2013

©2001-2024 WisFaq