Dirichlet

Ik moet een vraag oplossen voor wiskunde maar ik kom er niet aan uit. 2003 verschillende priemgetallen vormen een rekenkundige rij en het kleinste priemgetal is groter dan 2003. Toon aan dat het gemeenschappelijk verschil van deze rij deelbaar is door 2003.

Anonie
3de graad ASO - zondag 23 oktober 2011

Antwoord

Hallo, Anoniempje.

We hebben dus 2003 getallen a, a+v, a+2v, ... , a+2002v die allemaal priem zijn en groter dan 2003.
Dan zijn deze 2003 getallen ook allemaal niet deelbaar door 2003, dus modulo 2003 ongelijk aan 0.

Stel dat v niet deelbaar is door 2003.
Dan zijn a+mv en a+nv, waarbij m en n verschillende nietnegatieve gehele getallen kleiner dan 2003 zijn, verschillend modulo 2003, want hun verschil (m-n)v is niet deelbaar door 2003: immers noch m-n noch v is dan deelbaar door 2003 en 2003 is priem.
Dan zijn de 2003 getallen a, a+v, a+2v, ... , a+2002v allemaal verschillend modulo 2003 en ook allemaal ongelijk aan 0 modulo 2003.
Tegenspraak, want er zijn modulo 2003 slechts 2002 verschillende waarden ongelijk 0.

vrijdag 28 oktober 2011

©2001-2024 WisFaq