Vliegtuigvraag E(x) berekenen met de poisson verdeling

Een Boeing 747 die ingezet wordt voor een druk gebruikte lijnvlucht heeft N = 300 stoelen. Het aantal passagiers dat met deze vlucht meewil is altijd veel groter dan het aantal stoelen. Elke passagier die boekt moet eenzelfde bedrag F = 500 euro betalen.

De maatschappij besluit meer passagiers te boeken dan het aantal beschikbare stoelen. Uit ervaring is het de maatschappij bekend dat er vrijwel altijd passagiers zijn die boeken maar niet komen opdagen. De kans dat een passagier die geboekt heeft niet komt opdagen wordt geschat op q.

De ”no-show” gedragingen van de verschillende passagiers worden onafhankelijk van elkaar verondersteld. Een passagier die niet komt opdagen krijgt 80% van het betaalde bedrag terug. Een passagier die geboekt heeft en te horen krijgt dat de vlucht vol is, krijgt het betaalde bedrag van F = 500 euro volledig terug alsmede een schadevergoeding van b = f × F euro met f = 0.3.

Leid een wiskundige formule af voor de verwachtingswaarde van de netto winst die de luchtvaartmaatschappij zal maken voor de vlucht. Het aantal passagiers dat een plaatsbewijs zou willen kopen voor de vlucht niet onbeperkt groot is maar een Poisson verdeling heeft met verwachtingswaarde 290.

Hiervoor moest ik het met binominale verdeling doen (in excel) daarbij had ik een kans voor q gekregen. dus ik kon de binomiale verdeling goed invullen.

Alleen nu twijfel ik met de poisson verdeling en de formule met de verwachtingswaarde. moet ik nu de kansen voor q negeren omdat ik nu de poisson verdeling gebruik?

En hoe kom ik nou precies aan de wiskundige formule terwijl ik nu de poisson verdeling gebruik?

Joesje
Student universiteit - zondag 24 januari 2010

Antwoord

Hmm, dat is nog niet zo makkelijk. Je hebt wel degelijk beide verdelingen nodig: Je probleem bestaat grotendeels uit twee stappen.

1. het aanmeldingsproces: Poisson verdeeld met $\mu$=290.
2. het proces van de mensen die na aanmelding ook komen opdagen: is per keer vervolgens binomiaal verdeeld met (onbekende) n uit het poissonproces en kans p (show).

Dat betekent dat het verwachte aantal bezette stoelen onder de 300 ligt (290×p). Die 290 valt overigens niet te rijmen met de opmerking 'het aantal passagiers dat met deze vlucht meewil is altijd veel groter dan het aantal stoelen'

Maar goed: Voor die verwachtingswaarde voor de winst moet ik eigenlijk ook weten wat de kans is dat er meer dan 300 reizigers komen opdagen. Maar daarvoor heb ik poissonverdeling en de opvolgende binomiale verdeling nodig.

Echter er is een heel groot probleem bij het uitrekenen van deze kans namelijk: wat is de onderlinge gemeenschappelijke verdeling van deze combinatie?

Ik ken deze niet. Nu weet ik niet alles maar toch vrees ik ergens dat dit probleem mathematisch niet oplosbaar is. Bij benadering lukt het wellicht wel maar ik weet niet of dat hier de bedoeling is.

Met vriendelijke groet
JaDeX

donderdag 28 januari 2010

©2001-2024 WisFaq