Raaklijn aan een cirkel

Hey,

Ik zit vast met volgend probleem:

"Bewijs dat een raaklijn loodrecht staat op de middellijn door het raakpunt."

We hebben in de klas het omgekeerde bewezen, maar het bewijs omdraaien lukt hier niet. Hoe doe ik dit?

Bedankt

Jonas
2de graad ASO - dinsdag 20 januari 2009

Antwoord

Laat k de raaklijn zijn die de cirkel (met straal r en met middelpunt M) in het punt R raakt.

Veronderstel nu eens dat MR niet loodrecht op k staat. Wanneer je dan een loodlijn vanuit M neerlaat op k, dan snijdt deze de lijn k dus niet in R.

Noem die loodlijn MQ, waarbij Q dus wèl op k ligt, maar nièt samenvalt met R.

Nu zou je bijv. een beroep kunnen doen op de stelling van Pythagoras.

Driehoek MQR is rechthoekig in Q en dus zal MR²=MQ²+QR².

Omdat R niet samenvalt met Q, is QR$>$0 en dus ook QR²$>$0.

Dan volgt uit de Pythagorasrelatie dat MR²$>$MQ² ofwel MQ$<$MR (=r).

Maar, als MQ$<$r is, dan ligt Q binnen de cirkel en een raaklijn aan een cirkel heeft zijn punten niet binnen maar buiten de cirkel liggen.

Kortom: als je uitgaat van de veronderstelling dat MR niet loodrecht staat op k, dan zou de consequentie zijn dat een raaklijn aan de cirkel een punt binnen die cirkel heeft liggen. Die consequentie is onzinnig en dus moet de gedachte dat MR niet loodrecht op k staat, verworpen worden.

Maar dan staat MR dus wèl loodrecht op k.

De inzet van de stelling van Pythagoras verlangt natuurlijk wel dat de stelling reeds bekend is. Wie de meetkunde vanaf het begin aan het opbouwen is, zal vermoedelijk eerder met de raaklijnstelling in contact komen dan met Pythagoras. In dat geval zal men moeten uitwijken naar andere bewijzen van de raaklijnstelling en die zijn er gelukkig ook.

MBL
woensdag 21 januari 2009

©2001-2024 WisFaq