Is deze reeks echt gelijkmatig convergent voor xo?

Hallo,
bedankt voor vroegere hulp. Nu heb ik dit probleem. Ik moet bewijzen dat de reeks Ó voor n gaande van 0 tot oneindig met algemene term (x+n)^(-1).(x+n+1)^(-1)gelijkmatig convergeert naar 1/x voor x=0.
Ik denk dat met het gebruik van partiele breuken ik mag zeggen dat partiele sommen sn(x) gegeven worden door Ó(1/(x+k) - 1/(x+k+1))voor k gaande van 0 tot n, en door het schrappen van de binnenste termen krijg ik sn(x)=1/x -1/(x+n+1). De limiet is dan 1/x. Het probleem is als x en n tegelijk nul zijn, wat in de opgave mogelijk is, dan kan er toch geen sprake zijn van gelijkmatige convergentie in [0,oneindig)??? Wat ontgaat mij hier???

Rita D
Iets anders - woensdag 19 november 2008

Antwoord

Aangezien 1/x niet gedefinieerd is in 0 kan inderdaad van uniforme convergentie op [0,oneindig) geen sprake zijn. Op het interval (0,oneindig) wel: het verschil tussen de n-de som en 1/x is, in absolute waarde, 1/(x+n+1) en dat is voor alle x kleiner dan 1/n en dit zorgt voor de uniforme convergentie.

kphart
donderdag 20 november 2008

©2001-2024 WisFaq