Een deelbaarheids proef voor 3, 7 , 9 en 11

Ik weet dat de 3, 7, 9 en 11 proef werken maar ik snap niet hoe dit kan want elk getal dat ik geprobeerd heb is gelukt bij alle proeven, maar de logica er achter snap ik niet...

Zou u zo vriendelijk willen zijn mij dit uit te leggen, want ik snap er werkelijk niks van

Bij voorbaat dank W

Wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 24 oktober 2007

Antwoord

Wouter,
Test of een getal deelbaar is door 7:
Haal het laatste cijfer weg en trek daar het dubbele van het laatste cijfer van af.
v.b.
12345$\to$1234-2·5=1224$\to$122-2·4=114$\to$11-2·4=3
Nee dus.
12348$\to$1234-16=1218$\to$121-16=105$\to$10-10=0
Dus deelbaar door 7.
Je vraag is: Waarom is dat zo?

Stel het getal N. Je kan dit schrijven als: 10x+y
Met dit algoritme krijg je:
N=10x+y$\to$x-2y.
Stel: x-2y is deelbaar is door 7, dan is 10(x-2y)=10x-20y ook deelbaar door 7.
21y is deelbaar door 7, dus 10x-20y+21y=10x+y=N is ook deelbaar door 7.
Omgekeerd: Als x-2y niet deelbaar is door 7, dan is N ook niet deelbaar door 7.

Een andere uitleg: N=10x+y$\to$x-2y.
Het verschil: (10x+y)-(x-2y)=9x+3y=3(3x+y)
Als 10x+y een 7-voud is, dan ook 3x+y ook een 7-voud, dus 3(3x+y) is een 21-voud.
Als N een 7-voud is trek je er dus steeds een 21-voud van af.

Wat betreft de test op deelbaarheid door 11:
93126
Wordt toch duidelijk uitgelegd:
1(mod 11)=+1 , dus 6(mod 11)=+6
10 (mod 11)=-1 , dus 20(mod 11)=-2
100(mod 11)=+1 ,dus 100(mod 11)=+1
1000(mod 11)=-1 ,dus 3000(mod 11)=-3
10000(mod 11)=+1 ,dus 90000(mod 11)=+9
Totaal:6-2+1-3+9=11, dus 93126 is deelbaar door 11.
Je moet daarom vanaf rechts de cijfers van het getal om en om optellen en aftrekken.

ldr
woensdag 24 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq