Cirkels + snijpunten met een lijn

ik heb hier een vraag ik heb 2 cirkels
A= x²+ (y-2)²=10
b= (x-2)²+(y+3)²=17

en een lijn
I y=-2x+8

die lijn loopt door die twee cirkels maar nu moet ik weten wat de snijpunten zijn van die lijn tussen die twee cirkels .

alvast bedankt

bas sc
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 17 augustus 2007

Antwoord

Beste Bas,

Het snijpunt van een lijn met een cirkel:
Je zou eerst kunnen kijken of de lijn de cirkel wel snijdt. Of raakt hij hem?
Om een cirkel te zien op je GR moet je die in twee stappen invoeren:
Cirkel A: (y-2)²=10-x², dus Y1=Ö(10-x²)+2, en Y2=-Ö(10-x²)+2 en ook de lijn: Y3=-2x+8. Dan zie je mooi de twee snijpunten en kan je ze benaderen!
(De cirkel wordt aan de zijkanten natuurlijk niet helemaal getekend, omdat hij daar zo stijl loopt! ALs je inzoemt zie je dat hij wel degelijk doorloopt.)

Je kan die snijpunten exact berekenen door op de normale manier de vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen:
Ö(10-x²)+2=-2x+8 en -Ö(10-x²)+2=-2x+8.
Nu de wortels "ïsoleren", zodat je ze straks weg kan werken door het kwadraat te nemen:
Ö(10-x²)=-2x+6 en -Ö(10-x²)=-2x+6
Nu links en rechts kwadrateren:
10-x²=4x²-24x+36 en .... hetzelfde.
5x²-24x+26=0
abc-formule toepassen:
x=2,4+0,1Ö56 of x=2,4-0,1Ö56.
De bijbehorende y-waarden berekenen je dan met y=-2x+8.

De tweede vergelijking komt wat beter uit:
Ik neem aan dat je bedoelt (y+3)².

(y+3)²=17-(x-2)²=-x²+4x+13
y+3=±Ö(-x²+4x+13)
y=±Ö(-x²+4x+13)-3
±Ö(-x²+4x+13)-3=-2x+8
±Ö(-x²+4x+13)=-2x+11
-x²+4x+13=4x²-44x+121
5x²-48x+108=0
x=4,8±0,1Ö144=4,8±1,2
x=6 of x=3,6.
En dan weer de bijbehorende y-waarden berekenen.

pfff, dat was een heel verhaal!
Soms is het makkelijker om uit de vergelijking y=-2x+8 direct te bepalen:
y²=4x²-32x+64. Door in de cirkelvergelijking de haakjes uit te werken kan je daarin direct y en y² vervangen.
Succes!

ldr
vrijdag 17 augustus 2007

Re: Cirkels snijpunten met een lijn

©2001-2024 WisFaq