\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Oppervlakte omwentelingslichaam

Beste mensen,

Ik heb een vraagje over een de volgende vraagstelling:
gevraagd: Oppervlakte omwentelingslichaam
functie: y=sin x, (0xp), om de x-as.
gebruikmaking van formule: s=ò2pf(x)Ö(1+[f`(x)]2) dx.
uitwerking:
f(x)= sinx
f`(x)= cos x
hieruit volgt s= 2p0òpsinx Ö[1+cos2[x]]dx.
uitwerking:
u=1+cos2[x]
du=-2cos[x]sin[x]
'compenseren' met -1/2cosx·du
hieruit volgt met dezelfde grenzen ò-1/2cos[x]·Ö[u], hierna kom ik niet meer verder.

Met de uitwerking van maple kan ik ook niet terugrekenen.
maple geeft een complexe uitwerking?

bij voorbaat dank.

gr.

moos
Student hbo - vrijdag 6 april 2007

Antwoord

!! zo, nu klopt het antwoord !! (geloof ik)

Beste Moos,

Het ligt meer voor de hand om te substitueren met u = cosx. Dan wordt het deel onder de wortel eenvoudiger terwijl het deel buiten de wortel verdwijnt. Je krijgt dan 2pòu van -1 tot 1Ö(1+u2)du.

De primitieve van Ö(1+u2) vind je door nogmaals te substitueren:
u = sinh(z), du = cosh(z)dz

òÖ(1+u2)du = òÖ(1+sinh(z)2)cosh(z)dz = òcosh(z)2dz = ò(cosh(2z)+1)/2dz
= [sinh(2z)/4+z/2] = [sinh(z)cosh(z)+z]/2 = [uÖ(1+u2)+arcsinh(u)]/2

Het antwoord resultaat kun je controleren door te differentieren. Tenslotte:
2pòu van -1 tot 1Ö(1+u2)du = p[uÖ(1+u2)+arcsinh(u)]u van -1 tot 1
= 2p2+arcsinh(1)) = 14,4236

Groet,
Oscar

os
zondag 8 april 2007

©2001-2024 WisFaq