Integreren van even en oneven functies

Dag beste,

Ik moet de volgende formules aantonen.

Je weet dat f(t) een even functie is. Daardoor weet je ook dat f(t) ·cos (n$\omega$t) even is, en f(t) · sin(n$\omega$t) oneven is.

1 ) B0 = (2/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en 0 onder )

2 ) An = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · sin (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = 0

3 ) Bn = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en 0 onderaan )

Alvast bedankt.

Bart
Overige TSO-BSO - vrijdag 17 november 2006

Antwoord

Hallo,

Je merkt terecht op wat de even en wat de oneven functies zijn. Je hebt ook telkens een integraal over het interval [-T/2, T/2]. Bij een even functie (bv cos(t), of voor jou f(t)·cos(n$\omega$t)) is die integraal gelijk aan twee keer de integraal van 0 to T/2. Dat merk je meteen als je een figuur maakt. Als je het wil aantonen, hier het algemene bewijs:

f(x) is een even functie, dus f(-x)=f(x).
$\int{}$_-a^a f(x)dx = $\int{}$_-a⁰ f(x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx
= $\int{}$_a⁰ f(-x)d(-x) + $\int{}$₀^a f(x)dx (eerste integraal: substitutie doorgevoerd)
= $\int{}$₀^a f(-x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx (eerste integraal: grenzen omwisselen geeft minteken, twee keer min is plus)
= $\int{}$₀^a f(x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx
= 2 · $\int{}$₀^a f(x)dx

Voor een oneven functie krijg je net hetzelfde, behalve dat je dan f(-x) moet vervangen door -f(x), zodat je weer twee dezelfde termen krijgt, maar nu met een tegengesteld teken, wat dus nul geeft.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 18 november 2006

©2001-2024 WisFaq