Kwadratische reciprociteit

Ik werk aan een scriptie omtrent Gauss en spits me vooral toe op de inhoud van zijn boeken. Zo kwam ik o.a. ook terecht bij de kwadratische reprociteitswet van Gauss. De hele idee rond modulorekenen en kwadraatresten snap ik volledig. De bedoeling is om na te gaan of congruenties van de tweede graad oplosbaar zijn of niet. Volgens de kwadratische reprociteitswet van Gauss geldt dat (p/q)*(q/p)= (-1)^((p-1)*(q-1)/4). Als p= 1 (mod 4) OF q= 1 (mod 4), dan is (p/q) = (q/p; in het andere geval dan, als p = q = 3(modulo 4), dan is (p/q)= - (q/p). Nu is het mij niet erg duidelijk waarom dit juist zo is... Nergens staat dit juist verklaard... Een verstaanbaar bewijs hiervan vind ik nauwelijks, niet omwille van het engels, maar vaak door de moeilijkheid of omdat het gewoon niet genoeg uitgelegd is! Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen, want ik geraak er nog steeds niet wijs uit...

lodi
3de graad ASO - donderdag 2 maart 2006

Antwoord

Gebruik de wet!
Als p=1 (mod 4) dan is p-1 een viervoud, zeg 4m, en q-1 is even, zeg 2n; dan is (p/q)(q/p) gelijk aan (-1)^2mn.
Als p=3 en q=3 (mod 4), dan kun je p-1 en q-1 schrijven als 4m+2 en 4n+2; dan volgt (p/q)(q/p)=(-1)^(2m+1)(2n+1)

kphart
vrijdag 3 maart 2006

©2001-2024 WisFaq