\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bewijzen irrationaal van een grote wortel

Hai,
Als je wilt bewijzen dat bv Ö243 irrationaal is.
Dan loop ik vast.

Ö243 = p/q Waarbij deze breuk niet verder te vereenvoudigen is

243 = P2/q2
35=P2/q2
35* q2=p2
Hieruit volgt dat p2 een veelvoud is van 3. En dus is p een veelvoud van 3.
P kunnen we dan schrijven als 3x a (waarbij a is 1/3 p)
35* q2=9a2
27 * q2 = a2
Hier loop ik vast, want hieruit kun je niet stellen dat q ook een veelvoud van 3 is, toch?

MVG Nick

Nick J
Student universiteit - dinsdag 1 november 2005

Antwoord

als 35q2=p2

dan is p2 deelbaar door 3 en dus is p deelbaar door 3, maar dan is p2deelbaar door 32
= er bestaat een p' zodat p=3p'
= 35q2=32p'2
= 33q2=p'2

Op de zelfde manier is p' deelbaar door 32 en dus is er een p"zodat p'=32p"

=

33q2=32p"2
=

3q2=p"2

= p"2 is deelbaar door 3, en dus ook p" is deelbaar door 3
dus er bestaat een t zodat p"=3t

=

3q2=32t2
=

q2=3t2

= q2 is deelbaar door 3 en dus ook q.


Dus we hebben, gesteld dan p en q ondeelbaar waren, bewezen dat p en q beide deelbaar zijn door 3, strijdig.

QED


Het is wat lang, en het is steeds hetzelfde, maar het is belangrijk dat je de argumentatie goed begrijpt.


dinsdag 1 november 2005

©2001-2024 WisFaq