Laurent reeks

dag,
Ik zou graag weten hoe ik de laurent reeks van een sinus moet vinden.
Het is vooral de kring-integraal die ik niet kan oplossen.

Is het eventueel mogelijk een voorbeeld te geven?

Dank u

jeroen
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 30 april 2005

Antwoord

Dag, ik zal even het voorbeeld geven.
de Laurentreeks van
sin(1/z+2) in het punt (-2)

we kregen volgende formule gegeven:
f(z) = som( a (z-z0)^n ) voor n= - 00 ....+00
met an= (1/ 2PI) . kringintegraal( f(w)/(w-z0)^(n+1) dw )


De uitkomst heb ik hier ook, maar ik weet niet hoe men er aan komt.
Vooral dus door die kringintegraal.

1/(z+2) - 1/( 3! . (z+2)^3 ) + 1/( 5! . (z+2)^5 ) - ....


Deze oefening is een oefening op het vinden van de soorten geïsoleerde
singulariteiten.
-------------
De formule voor de coefficienten in de Laurentreeks komen voort uit het bewijs dat Laurentreeksen bestaan. In concrete gevallen kun je de reeks vaak langs andere weg vinden. In jouw voorbeeld ontstaat de reeks door gewoon 1/(x+2) voor w in de standaard reeks voor de sinus in te vullen:
sin(w)=w-w^3/3!+w^5/5!+...+(-1)^nw^(2n+1)/(2n+1)!+...
Omdat er oneindig veel negatieve n zijn waarbij a_n niet nul is volgt dus dat we hier met een essentiele singulariteit te maken hebben.
Wat het uitrekenen van de integralen betreft: vaak werkt men andersom; omdat we de reeks langs een andere weg hebben gevonden kunnen we nu al die integralen uitrekenen! Omdat a_n=0 voor even n weet je bijvoorbeeld meteen dat voor even n de kringintegraal ook nul is.

kphart
dinsdag 3 mei 2005

©2001-2024 WisFaq