Re: Bewijs met volledige inductie

Dit is een reactie op vraag 3344

Hallo, ik heb de reactie net bekeken maar ik kom er nu nog steeds niet uit. Het gaat juist om het uitschrijven van de volgende formule dat moeilijk ging: 5·3^4(n+1)+1-2²⁽ⁿ⁺¹⁾

Alexander

Alexan
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 24 mei 2002

Antwoord

Als je in de gegeven formule n = 1 invult, dan komt er te staan: 5.3⁵ - 2².
Als je dit uitrekent, dan vind je 1211 en dat is inderdaad deelbaar door 7.

Stel nu dat de bewering wáár is voor de waarde n = k.
Dat betekent dus dat 5.3 ^4k+1 - 2^2k een zevenvoud is (ofwel: deelbaar is door 7).

Nu ga je k vervangen door (k+1). Je krijgt dan:

5.3^4(k+1)+1 - 4^k+1.

De kunst is nu om dit zó om te bouwen dat je er de formule waarbij n = k in gaat herkennen.

Wat denk je hiervan?

5.3^4k+1.3⁴ - 4.4^k.

Dit is weer gelijk aan: 81.{5.3^4k+1-4^k} + 77.4^k
(in dit stukje zie je hoe er naar het geval n = k wordt toegewerkt).
Maar nu ben je er:
tussen de accolades staat een vorm die door 7 te delen is (de inductie-aanname). Het tweede stukje bevat het getal 77 en dat is ook door 7 deelbaar.
Maar dan is het totaalpakket door 7 deelbaar.

Als de vorm voor n = k deelbaar is door 7, dan is ie dus ook door 7 deelbaar voor n = k+1.
Welnu: voor k = 1 klopte het (zie de eerste regel), dús dan ook voor n = 2, dús dan ook voor n = 3 enz. enz.

MBL
vrijdag 24 mei 2002

©2001-2024 WisFaq