Stelling van Pappos

Ik heb veel gehad aan jullie site voor mn PO maar nu stuit ik tegen een probleem op bij het bewijzen van de stelling van Pappos. Zoals er al beschreven staat in voorgaande vragen, staat er dat je 5 keer de stelling van Menelaos moet gebruiken, vermenigvuldig ze daarna allemaal en dan blijft er nadat alles is weggevallen de omgekeerde stelling van Menelaos. Maar nu begrijp ik niet waarom die andere producten tegen elkaar wegvallen...
Ik hoop dat jullie me kunnen helpen...

scott
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 27 december 2004

Antwoord

In onderstaand plaatje is de stelling van Pappos nogmaals weergegeven.



We moeten bewijzen, dat de punten L, M, N op één lijn liggen.
We bekijken dan driehoek XYZ met opvolgend de 'transversalen' (snijlijnen) DE, FA, BC, ACE, BDF en passen telkens de stelling van Menelaos toe.
Je vindt dan (geschreven met deelverhoudingen):
(XZL)(ZYE)(YXD) = 1
(XZA)(ZYF)(YXN) = 1
(XZB)(ZYM)(YXC) = 1

(XZA)(ZYE)(YXC) = 1
(XZB)(ZYF)(YXD) = 1
(Inderdaad vijf keer de stelling van Menelaos.)

Vermenigvuldig nu de eerste drie eens met elkaar (linker en rechter lid) en schrijf alle deelverhoudingen (en dat zijn breuken!) uit.
Na enige ordening vind je dan (*):

(LX/LZ . MZ/MY . NY/NX).(AX/AZ . EZ/EY. CY/CX).(BX/BZ . FZ/FY. DY/DX) = 1

Je wilt bewijzen, dat (LX/LZ . MZ/MY . NY/NX) = 1

De twee andere 'factoren' in de uitdrukking bij (*) zijn gelijk aan 1; zie de vierde en vijfde toepassing van de stelling van Menelaos.
Dus...

Ik hoop dat eea. nu iets duidelijker is.

dinsdag 28 december 2004

©2001-2024 WisFaq