Dedekind en reele getallen

Hallo wisfaq,

Volgens Dedekind:
Zij Q de rationale getallen.
Ieder rationaal getal a brengt een zodanige verdeling van Q in twee klassen A1 en A2 voort, dat elk getal a1 uit A1 kleiner is dan ieder getal a2 uit A2;het getal a is dan ofwel het grootste getal van de klasse A1 of het kleinste getal van de klasse A2.
Als nu een of ander verdeling van Q in twee klassen A1 en A2 is gegeven, die alleen de karakteristieke eigenschap bezit dat elke getal a1 uit A1 kleiner is dan ieder getal a2 uit A2, dan heet zo'n indeling kortweg een snede en we noteren (A1,A2).We kunnen dan zeggen dat elk rationaal getal a éém snede voortbrengt.
Bovenstaande definieert Dedekind ook voor de reele getallen (R);
Is a' een bepaald getal, dan vallen alle getallen uit R uiteen in twee klasse, A1 en A2, die elk oneindig veel individuen bevatten;de eerste klasse A1 bevat alle getalen a1, die a' zijn ; A2 bevat alle getallen a2, die a'zijn.Het getal kan in A1 of A2 worden ingedeeld, en is dan diensovereenkomstig het grootste getal van de 1e of het kleinste getal van de 2e klasse.Deze verdeling wordt door a' voortgebracht.

Om een of andere berekening met twee reele getallen a', b' op berekeningen met rationale getallen terug te voeren, komt het er alleen op aan, uit de sneden (A1,A2) en (B1,B2), die door de getallen a', b' in Q worden voortgebracht, de snede (C1,C2) te definieren, die met het resultaat van de berekening overeenstemmen.
Ik wil graag de wortels 2,3 en 6 definieren als sneden in de rationale getallen, en ook het product van twee positieve reele getallen d.m.v. hun sneden in rationale getallen.Dedekind heeft dit wel uitgewerkt voor de optelling, die ik niet begrijp.Maar ik wil het dus voor bovenstaande gevallen doen.
Optelling
Is c een rationaal getal, dan moet je het in de klasse C1 opnemen als er een getal a1 in A1 en een getal b1 in B1 is, zodat a1+b1=c;alle andere rationale getallen moeten in de klasse C2 worden opgenomen.Deze indeling van de rationale getallen in C1 en C2 vormt een snede, omdat ieder getal c1 in C1 is dan ieder getal c2 in C2.
vraag1. Ik begrijp niet aan de hand van deze uitleg waarom je nu een snede hebt.
zijn nu beide getallen a' en b' rationaal, dan is ieder in C1 bevat getal c1=a'+b', omdat a1=a'en b1=b', dus ook a1+b1=a'+b';
als een in C2 bevat getal c2 a'+b' zou zijn, dus a'+b'=c2+p, met p en positief rationaal getal is, dan zou
c2=(a'-(1/2)p)+(b'-(1/2)p),
in tegenspraak met de definitie van het getal c2 (vraag2.dit begrijp ik niet), omdat
(a'-(1/2)p) een getal uit A1 en (b'-(1/2)p een getal uit B1 is; als gevolg daaran is ieder in C2 bevat getal c2=a'+b'.Daarom wordt in dit geval de snede (C1,C2) door de som a'+b' voortgebracht.

Vriendelijke groeten en dank, Viky

viky
Student hbo - vrijdag 19 november 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Vraag 1: de indeling vormt een snede, want neem een c1 in C1 en een c2 in C2. Te bewijzen is dat c1 c2. Nu zit c1 in C1 omdat c1=a1+b1 met a1 in A1 en b1 in B1. En c2 zit in C2 omdat c2 niet te schrijven was als zo een som.

Dus heb je nu het volgende:
c1 = a1+b1 a'+b' c2
waarbij a' en b' de elementen zijn die de snedes (A1,A2) en (B1,B2) bepalen. (de laatste ongelijkheid is intuïtief duidelijk, en kan je uit het ongerijmde makkelijk bewijzen)

Vraag 2: je hebt expliciet de snede (C1,C2) gedefinieerd door te zeggen dat in C1 die elementen terechtkomen die je kan schrijven als a1+b1 met a1 in A1 en b1 in B1, en alle andere elementen komen in C2. Wat je nu nog moet doen is controleren dat als x in C1 zit, dan xa'+b', en als x in C2 zit dan xa'+b'. Dat wordt daar gedaan:

1. x in C1, dus x=a1+b1 met a1 in A1 en b1 in B1, maw a1a' en b1 b', dus xa'+b' dus dat is al goed.
2. x in C2, stel toch xa'+b', dus x=a'+b'-p (p positief), dus x=(a'-p/2) + (b'-p/2)=a1+b1 met a1 in A1 en b1 in B1, dus zou x in C1 moeten zitten per definitie, wat strijdig is met de veronderstelling dat x in C2 zit. Conclusie: als x in C2 zit dat is xa'+b'.

Hoe moet je dit nu aanpassen voor de vermenigvuldiging? Je start dan weer met een a' en een b', die zorgen voor dezelfde sneden (A1,A2) en (B1,B2). Je definieert dan een nieuwe snede (C1,C2) door te zeggen dat een element x in C1 zit als je x kan schrijven als a1b1 met a1 in A1 en b1 in B1. Dit zal echter niet juist zijn: stel a'=2 en b'=3. Dan zou x=7 in C2 moeten zitten, maar 7=(-7)(-1) met -72 en -13, dus -7 zit in A1 en -1 in B1. Je moet er dus iets op vinden om problemen met negatieve getallen te omzeilen...

Je zou dat bijvoorbeeld kunnen doen door verschillende gevallen te bekijken, zoals
a' en b' allebei positief, zeg dan dat x in C1 zit als x te schrijven is als a1b1 met a1 in A1, en b1 in B1 maar wel positief (in snedenterminologie komt dat er dan op neer dat b1 in D2 zit met de snede (D1,D2) bepaald door het element 0).
Op die manier krijg je in C1 alle negatieve elementen als product van een negatieve a1 en een positieve b1, en je krijgt ook alle positieve elementen die kleiner zijn dan a'b' als product van een positieve a1 met een positieve b1.

En iets soortgelijks zou je dan moeten doen voor andere gevallen (a' pos en b' neg; of allebei neg).

De snede (E1,E2) voor Ö2 kan je tot slot als volgt definiëren: x zit in E1 als x² in F1 zit (met (F1,F2) de snede bepaald door het element 2) OF als x in G1 zit met (G1,G2) de snede bepaald door het element 0 (want ook hier moet je weer opletten: je wil dat negatieve getallen in de linkersnede zitten, dus -3 moet in E1 terechtkomen, terwijl (-3)² wel in F2 zit...

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 20 november 2004

Re: Dedekind en reele getallen

©2001-2024 WisFaq