Unitaire ruimten, orthonormale basis, basisovergang

Beschouw in het unitaire vectorvlak U(2,) een orthonormale basis B={e₁,e₂}.
Gegeven is de vector e₁'=2i/3 *e₁+(1+2i)/3 *e₂

Bepaal alle vectoren e₂' zodat B={e₁',e₂'} een orthonormale basis vormt voor U(2,).
Ga na of de matrix van de basisovergang een unitaire matrix is.


(Dit is ook een examenvraag die niet is gelukt)

Koen M
Student universiteit België - vrijdag 11 juli 2003

Antwoord

Hallo Koen,

Je weet dat e₂' aan twee eisen moet voldoen: ortho en normaal. Ortho, dus loodrecht op e₁', dus het inproduct moet nul zijn, dus 2ix/3 + (1+2i)y/3 = 0 als e₂' = xe₁ + ye₂. De andere eis is genormeerd zijn, dus ||x||²+||y||²=1. Is dit niet op te lossen door gewoon x = a+bi te stellen?
En het tweede deel: als je de uitdrukking(en) voor e₂' hebt, stel je vlug de basisovergangsmatrix op, en je vermenigvuldigt hem met de getransponeerde van zijn complex toegevoegde, en als dat de eenheidsmatrix oplevert was hij unitair. (tenminste, dat is de definitie van unitaire matrix op staff.science.uva.nl/~pia/Onderwijs/hoofdstuk7.ps

Op die andere vraag heb ik niet zo direct een antwoord, alleen dacht ik dat de beschrijvenden door een punt, alle rechten door dat punt zijn die volledig op de kwadriek liggen. Dus als je een algemene vergelijking van een rechte door dat punt opstelt en een willekeurig punt daarvan kiest, moet dat op de kwadriek liggen, niet?

Is het voor Thas of voor De Clerq, en heb je tweede zit? Of waren er toch nog een paar vragen die je wel kon?

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 11 juli 2003

©2001-2024 WisFaq