Routes in een driedimensionaal rooster

Ik wilde graag weten wat de formule is voor het aantal korte routes in een driedimensionaal rooster+ uitleg. Hopelijk kunt u mij van dienst zijn, bij voorbaat dank. Met vriendelijke groeten, Johanna van Bens.

Johann
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 14 mei 2003

Antwoord

Neem een balk met afmetingen AxBxC. Om van een hoekpunt, het overliggende hoekpunt te bereiken moeten A stapjes in de X richting, B stapjes in de Y richting en C stapjes in de Z richting worden gezet. Per richting zijn al die stapjes natuurlijk in dezelfde zin, anders hebben we niet het kortste pad.

De vraag is nu op hoeveel manieren kunnen we een bende van A X'jes, B Y'tjes en C Z'jes door elkaar gooien. Kies eerst uit de (A+B+C) beschikbare plaatsen, de posities van de A X'en. Dat kan op (A+B+C)over(A) manieren. Uit de (B+C) overblijvende plaatsen kiezen we nu de posities van de B Y'tjes. Dat kan op (B+C)over(B) manieren. De resterende C plaatsen worden dan opgevuld door de Z'jes. Het totaal aantal combinaties wordt dus

[(A+B+C)over(A)].[(B+C)over(B)]
=[(A+B+C)!/A!/(B+C)!].[(B+C)!/B!/C!]
=(A+B+C)!/[A!B!C!]

woensdag 14 mei 2003

©2001-2024 WisFaq