\require{AMSmath}

Kettingregel

Hallo,
Ik snap niet hoe de kettingregel (primitiveren) toegepast moet worden bij ingewikkeldere functies, welk deel is dan zeg maar het 'hartje' waarvan je de afgeleide door 1 deelt? Bijvoorbeeld in de vorm van f(x)=a·x³·e^b·x2

Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 6 januari 2024

Antwoord

De kettingregel gaat over differentiëren, maar je noemt primitiveren. Bedoel je misschien de substitutieregel? En als je iets door $1$ deelt gebeurt er niets, dus ik vermoed dat je daar ook wat anders bedoelt. En `hartje' is geen algemeen bekende term; is dat iets wat je docent gebruikt? Wat bedoelt die daarmee?

Maar goed, als je je functie wil primitiveren moet je er even goed naar kijken. Ik zou de exponent in $e^{bx^2}$ willen vervangen door een enkele variabele $u$.
Dus: we proberen $u=bx^2$, dan geldt $\mathrm{d}u=2bx\,\mathrm{d}x$. Dit kun je in $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ invullen:
$$\int a\cdot x^3\cdot e^{bx^2}\,\mathrm{d}x=\int a\cdot x^2\cdot e^{bx^2}\cdot x\,\mathrm{d}x =\int a\cdot\frac ub\cdot e^u\cdot\frac1{2b}\,\mathrm{d}u
$$Je moet dan dus
$$\frac a{2b^2}\int u\cdot e^u\,\mathrm{d}u
$$doen.

Dat kan door goed kijken en even proberen: de afgeleide van $ue^u$ zelf is $ue^u+e^u$, dus de afgeleide van $ue^u-e^u=e^u(u-1)$ is $ue^u+e^u-e^u=ue^u$. Je kunt ook partieel integreren.

Hoe dan ook, er komt
$$\frac a{2b^2}e^u(u-1)+c = \frac a{2b^2}e^{bx^2}(bx^2-1) + c
$$als primitieve van $f(x)$.

©2004-2024 WisFaq