Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

 Dit is een reactie op vraag 93193 

Re: Differentiaal van een functie met 2 veranderlijken

Hoe komt het dan dat de oplossing wel een som is?

En als ik beide integralen uitreken kom ik bij beide een term x4y3 uit in de oplossing...

Nvt
Student universiteit - donderdag 6 januari 2022

Antwoord

De oplossing is geen som, maar een combinatie van beide primitieven
Als je beide integralen uitrekent krijg je als eerste
$$\int 4x^3y^3+\frac1x\,\mathrm{d}x = x^4y^3+\ln x+g(y)
$$Met $g$ een onbekende functie van $y$: de integratie constante is een functie van $y$ omdat je naar $x$ primitiveert, als je dat resultaat partieel naar $x$ differentieert verdwijnt die $g(y)$ weer. Evenzo
$$\int 3x^4y^2-\frac1y\,\mathrm{d}y = x^4y^3-\ln y + h(x)
$$met $h$ een onbekende functie van $x$.
Beide uitkomsten moeten ons $f(x,y)$ opleveren en om die uitkomsten gelijk te krijgen moet gelden $g(y)=-\ln y+C$ en $h(x)=\ln x+C$, met $C$ een constante.
Combineren geeft
$$f(x,y)=x^4y^3 +\ln x -\ln y +C
$$
In plaats van combineren kun je ook $x^4y^3+\ln x+g(y)$ partieel naar $y$ differentiëren; daar moet dan $3x^4y^2-\frac1y$ uit komen, maar dat betekent dat $g'(y)=-\frac1y$, en dus $g(y)=-\ln y+C$.

kphart
donderdag 6 januari 2022

©2001-2024 WisFaq