Ik zit in de 6e van het VWO en ben bezig met een profielwerkstuk over het getal pi. Nu is één van de deelvragen: Gaat pi ons nog wat in de toekomst brengen?
Mijn vraag aan u is of u misschien een wiskundige bij u aan het werk hebt (of zelf bent) die mij met die vraag zou kunnen helpen, of tips heeft hoe ik aan het antwoord op die vraag zou kunnen komen?
Alvast bedankt
Lodewi
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 30 januari 2007
Antwoord
Er zijn inderdaad nog een aantal onbeantwoorde vragen in verband met pi. Zo bijvoorbeeld:
- Is pi een normaal getal? Dat betekent dat elk cijfer even vaak voorkomt in de decimale schrijfwijze (het stuk achter de komma dus). Kort gezegd: komt het cijfer 1 even vaak voor als de 2, als de 3, enzovoort; geldt dit ook voor cijferparen (komt '76' even vaak voor als '93') of langere cijferrijtjes. En dit is nu voor de decimale ontwikkeling, maar geldt dit ook in andere getalstelsels, zoals het binaire? Meer info hierover op mathworld.
- Wat is de irrationaliteitsmaat van pi? De irrationaliteitsmaat van een getal x is een getal dat min of meer weergeeft hoe irrationaal dat getal x is. Rationale getallen hebben maat exact 1, irrationale getallen hebben maat minstens 2, en de meeste daarvan hebben maat exact 2. Voor pi weet men de maat nog niet exact, men weet voorlopig enkel dat die maat tussen de 2 en de 8,0161 ligt. Zie hier voor meer info, je ziet dat het resultaat van die 8,0161 nog vrij recent is (van 1992) en dat ook naar verwante getallen zoals $\pi$2 soortgelijk onderzoek wordt gedaan.
- Voorts worden er nog steeds nieuwe formules gezocht en gevonden om pi voor te stellen, meestal als reeks (dus een naar pi convergerende som van oneindig veel elementen). Je vindt er hier zoveel je maar wil, daarbij enkele heel recente.
- Zoals elk irrationaal getal kan je ook pi schrijven als kettingbreuk, dit betekent van de vorm 3+ 1/(a+1/(b+1/(c+1/(d+... De a,b,c,d,... stellen daarbij natuurlijke getallen voor. Anders dan bij die andere bekende constante, e, lijkt hier geen regelmaat te zitten in de a,b,c,d,... Dus misschien komen er in de toekomst nog wel resultaten die daar een verklaring voor geven. Zie hier.
- Vooral dankzij al die reeksen die pi geven van daarnet, en door toenemende computerprestaties, kan men steeds meer decimalen van constanten als pi berekenen. Momenteel zit men op zo een slordig biljoen cijfers (=1012) (record van Kanada).
- Er bestaan ook BBP-formules. Dat zijn formules die een manier geven om een zoveelste cijfer achter de komma te vinden, echter zonder dat je dan eerst alle voorgaande cijfers moet vinden! Voorlopig is dit enkel gevonden voor het hexadecimale talstelsel, maar ook daar wordt dus nog onderzoek naar gedaan. Hier zo...
