WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Volledige inductie

Dit is een reactie op vraag 98617

Beste kphart, ik heb STAP 3 zo aangepakt, maar dan heb ik wel even stap 2 veranderd naar: vernderstel dat de formule geldt voor k. Dus bij stap 3 heb ik: 2^k+1 $>$ k+1
2·2^k $>$ 2·k $>$ k+1
2^k $>$ k
Als ik bij beide leden deel door 2.
Bij deze vraag is er ook nog een deelvraag 'bewijs met de sandwichstelling/insluitstelling dat de limiet van un=n/3ⁿ 0 is.

Ik heb geprobeerd om 0 $<$ un $<$ ? maar aan de rechterkant vindt ik geen gepaste basislimiet...
Ik snap eigenlijk niet waarom deze vragensamenhoren.

Mvg Hilde
Hilde
3de graad ASO - dinsdag 15 april 2025

Antwoord

Het echte bewijs moet net andersom. Je moet beginnen met $2^k > k$, door met $2$ te vermenigvuldigen krijg je $2\cdot2^k > 2\cdot k$. Verder geldt $2k\ge k+1$ (als $k=1$ geldt gelijkheid). Samengenomen geeft dat $2^{k+1} > 2k\ge k+1$, en dus $2^{k+1} > k+1$.

Bij jouw volgorde begin je met wat bewezen moet worden en leidt je iets af dat al geldt. Dat is geen goed bewijs. Je moet beginnen met de aanname en eindigen met wat bewezen moet worden.

Voor het tweede deel: Omdat $n < 2^n$ (dat is net bewezen) kun je dit opschrijven:
$$0 < \frac{n}{3^n} < \frac{2^n}{2^n}=\left(\frac23\right)^n
$$en je hebt vast al geleerd dat $\lim_n (\frac23)^n=0$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 april 2025