WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een autodealer met 45 klanten

Een autodealer heeft 45 klanten in 30 dagen met elke dag tenminste 1 klant. Dan is er een serie van opeenvolgende dagen waarin hij precies 14 klanten heeft. Bewijs dit.

Jan
Leerling mbo - maandag 30 oktober 2023

Antwoord

Wat heb je zelf al geprobeerd?

Ik zou het als volgt aanpakken: schrijf voor elke dag het aantal klanten dat die dag langskomt op: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{30}$. Tel vervolgens alle beginstukken op: $s_1=a_1$, $s_2=a_1+a_2$, $s_3=a_1+a_2+a_3$, $\ldots$, $s_{30}=a_1+a_2+\cdots+a_{30}$.
We willen dus vaststellen dat er $k$ en $l$ zijn zó dat $k < l$ en $s_l-s_k=a_{k+1}+\cdots+a_l=14$.

Wat je doet is elke $s_i$ door $14$ delen met rest, en telkens die rest $r_i$ opschrijven. Dat geeft een rij van $30$ getallen die allemaal $0$, $1$, $2$, $\ldots$, $13$ kunnen zijn.
Stel dat elk getal uit $\{0,1,2,\ldots,13\}$ niet meer dan twee keer voorkomt; dan kunnen we maar $28$ resten hebben, en we hebben er $30$ dus dat gaat niet. Er is een getal dat drie of meer keer voorkomt. Dus we hebben $k < l < m$ met $r_k=r_l=r_m$. Dus $s_l-s_k$ en $s_m-s_l$ zijn veelvouden van $14$.
En omdat elke dag ten minste één klant langskomt geldt $s_k < s_l < s_m$.

Als $s_l-s_k=14$ dan zijn we klaar; anders is $s_l-s_k$ gelijk aan $28$ of $42$.
Maar dan kan $s_m-s_l$ niet $28$ of meer zijn omdat dan $s_m-s_k\le45$.
Dus $s_m-s_l=14$, klaar.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 31 oktober 2023