WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Integraal over S1

Beste

Ik probeer om in te zien als jij een 1-vorm w op S¹ integreert, dat de waarde van de integraal niet verandert indien we 1 punt excluderen bv. S¹\{1}. Ik dacht om f₁=1 op S¹\{1} en 0 in een omgeving van 1 bv. B(1,1/n) en analoog f₂=0 op S¹\{1} en 1 in B(1,1/n). Zodat f₁+f₂=1, of als we nu \smallint w= \smallint (f₁+f₂)w= \smallint f₁w+ \smallint f₂w. De integraal van f₁w is precies de integraal van w op S1\{1}. En voor de 2de integraal dacht ik als n- > inf dan krijgen we de integraal van w op {1} wat 0 moet zijn omdat w een 1 vorm is en {1} 0-dimensionaal. Is deze redenering correct? Alvast bedankt!
Rafik
Student universiteit België - zaterdag 25 maart 2023

Antwoord

Het klinkt redelijk. Maar er zijn wat verbeterpunten: je f_1 en f_2 hangen van n af en de integraal van f_1\cdot w is bij zo'n vaste n niet automatisch gelijk aan de integraal van w. Bij de tweede integraal doe je het wel goed: een limiet nemen.

Verder kun je niet tegelijk f_1 gelijk aan 1 nemen op S^1\setminus\{1\} èn gelijk aan 0 op een omgeving van 1. Idem voor f_2.

In het plaatje zie je twee functies die je naar S_1 kun verplaatsen via een parametrizering (x(t)=(\cos(t),\sin(t))).
Die zou je dan f_{1,n} en f_{2,n} moeten noemen.
Nu kun je de limieten nemen
\lim_{n\to\infty}\int f_{1,n}w \text{ en } \lim_{n\to\infty}\int f_{1,n}w

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 april 2023