WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kortste route naar top f(x,y)

Stel ik heb een bepaalde functie f(x,y) uitgedrukt in x en y. Dit levert een 3d tekening op. Veronderstel dat deze op een gegeven domein een maximum heeft (of zadelpunt).

Ik weet dat wanneer ik $\nabla $f bereken dat ik het vectorveld zou kunnen opstellen van de functie en met het inproduct van $\nabla $f in een willekeurig punt en de genormaliseerde vector ik ook de helling kan bepalen in een richting.

Mij vraag is, stel ik neem een willekeurig punt p(a,b) op f(x,y) en ik zou vanuit dat punt vertrekken richting een bepaalde vector (x,y).
Hoe bepaal ik (het functievoorschrift van) de kromme van de korte route naar de top?
hoe lang is die route?
Stel ik zou mijn eerste stap al meteen richting de top nemen, hoe beantwoord je dan bovenstaande vragen?

KS
Student universiteit - zaterdag 11 februari 2023

Antwoord

Water weet hoe je zo snel mogelijk naar beneden gaat: loodrecht op de hoogtelijnen in het landschap. Zo ga je dus ook zo snel mogelijk omhoog.
Je opmerking over de helling en het inwendig product laat zien dat je het snelst omhoog gaat als je telkens de pijl $\nabla f(a,b)$ volgt, in die richting is de helling het grootst.

Dus, als $(x(t),y(t))$ de gezochte kromme parametriseert dan moet $(x'(t),y'(t))$ altijd een positief veelvoud van $\nabla f(x(t),y(t))$ zijn, dus moet overal gelden dat $(x'(t),y'(t))=\lambda(t)\cdot\nabla f(x(t),y(t))$, waarbij $\lambda(t) > 0$. Die $\lambda(t)$ kun je wegwerken door te delen:
$$\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{f_y(x(t),y(t))}{f_x(x(t),y(t))}
$$daar kun je een differentiaalvergelijking met $y$ als functie van $x$ van maken:
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f_y(x,y)}{f_x(x,y)}
$$De oplossingen daarvan geven je de krommen die loodrecht op de niveaulijnen staan.
Hiervoor moet je de differentiaalvergelijking dus oplossen, met je beginpunt $(a,b)$ als beginvoorwaarde: $y(a)=b$.
Dat doe je door de kromme te parametriseren en dan de integraalformule voor de lengte te gebruiken.
Als je in het begin niet in de richting van de gradiënt vertrekt dan wordt je route langer en het is dan niet geheel duidelijk wat de antwoorden worden omdat we niet weten wanneer je de `juiste' route gaat volgen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 11 februari 2023

Re: Kortste route naar top f(x,y)