WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Sylow p deelgroepen D_2022

Ik probeer het aantal Sylow p deelgroepen van D_2022 te bepalen, de dihedrale groep van een regelmatige 1011-veelhoek. Dus |D_2022|=2022=2*3*337. Uit Sylow's stelling zien we dat n_337=1, n_3 $\in $ {1,337} en n_2 $\in $ {1,3,337,1011}. Nu probeer ik de foute waarden te elimineren.

Wat ik tot nu toe heb is als we een P nemen in Syl_2(D2022) dan is P isomorf met C2. Dus zij s een wk spiegeling in D2022 dan is $<$ s $>$ een Syl_2 deelgroep en de rest vind ik door naar de toevoegingen te kijken. Zij g een andere spiegeling verschillend van s, dan is gsg^-1 van orde 2 dus weer een spiegeling. Zodanig n_2=1011 namelijk het aantal spiegelingen van D2022.

Als Q in Syl_3(D2022) dan is Q isomorf met C3. Dus zij r een rotatie van D2022 dan is $<$ r^674 $>$ een Syl_3 deelgroep, nu dacht ik te argumenteren maar ben niet zeker, dat we een element g kunnen vinden die niet met r^674 commuteert zodanig $<$ gr^674g^-1 $>$ een andere Syl_3 deelgroep, sinds we een 2de Syl_3 deelgroep vonden kan n_3 al niet 1 zijn en de enige andere mogelijkheid is dus n_3=337.

Ben ik in de juiste richting aan het denken? Sorry voor de lange tekst, en alvast bedankt!
Rafik
Student universiteit België - zaterdag 3 september 2022

Antwoord

Je antwoorden voor $n_2$ en $n_{337}$ kloppen.

Bij $n_3$ moet je iets zorgvuldiger zijn: is $r$ een willekeurige rotatie of een voortbrenger van de rotatieondergroep (over $2\pi/1011$ dus)?
Ik neem het laatste geval.
Je hebt dat alvast $H=\{(1), R, R^{-1}\}$ als $3$-Sylowondergroep, met $R=r^{647}$
(eigenlijk is $r^{337}$ wat logischer omdat die eerder komt in de nummering $\{r^k:k=0,\ldots,r^{1010}\}$ van de rotaties).
Conjugeren met rotaties levert niets nieuws omdat de rotaties een cyclische groep vormen.
Conjugeren met spiegelingen ook niet want $sRs^{-1}$ heeft orde $3$ en moet dus een rotatie zijn. Maar onze rotaties $R$ en $R^{-1}$ zijn de enige rotaties van orde $3$, dus elke spiegeling voert $H$ over in $H$. Ook al hoeft $s$ niet met $R$ te commuteren, hij zal dan $R$ en $R^{-1}$ omwisselen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 september 2022