De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

 Dit is een reactie op vraag 96980 
Ik heb nu de oplossing voor deze cilinder dank hiervoor.
Is deze ook generiek te maken waarbij de diameter en helling/afplatting ook variabelen zijn?

Dan kan ik deze verkregen formule ook in andere situaties toepassen.

Groet,
Jan

Jan
Iets anders - vrijdag 13 mei 2022

Antwoord

We noemen de straal van de cilinder $R$ en we noteren de helling van het
grondvlak als~$\frac1a$ (dat maakt de formules straks iets makkelijker). In de vorige vraag hadden we dus $R=150$ en $a=20$.

Dan heeft het grondvlak de vergelijking $z=\frac1a(x+R)$. De maximale hoogte van het grondvlak is dan $\frac2aR$, bij $x=R$.

De plak op hoogte $z\le\frac2aR$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le R^2$ Ťn $x\le az-R$.
De oppervlakte van zo'n plak is dan gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-R}^{az-R}2\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partiŽle integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac x{R}\right]_{-R}^{az-R} & =
(az-R)\sqrt{R^2-(az-R)^2}\\
&\qquad{}+R^2\arcsin\frac{az-R}{R}+R^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le\frac2aR$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(R^2-(ah-R)^2\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R}a\times R^2\left(\frac{ah-R}{R}\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{1-\left(\frac{ah-R}{R}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Dit kan wat opgeknapt worden tot
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(2ah(R-ah)\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R^2}a\left((ah-R)\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{2ah(R-ah)}+\frac\pi2R\right)
\end{aligned}
$$Als $h=\frac2aR$, ofwel $ah=2R$, dan krijgen we $\frac{ah-R}{R}=1$ en dan is $V(h)$ precies gelijk aan de helft van het volume van de cilinder met straal~$R$ en hoogte $\frac2aR$, dus $V(\frac2aR)=\pi\cdot R^2 \cdot \frac Ra$. Voor $h\ge\frac2aR$ hebben we
$$V(h)=\frac\pi aR^3+\pi\cdot R^2\cdot\left(h-\frac2aR\right)=
\pi R^2\left(h-\frac Ra\right)
$$

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 13 mei 2022



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3