De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

 Dit is een reactie op vraag 93550 

Bij de reeks n2∑sin(n-3)∑ln(((n+1)/n)1/3)
zat ik echt vast. Uiteindelijk heb ik hem gevonden.
Zou u mijn aanpak hier willen controleren.

Ik heb eerst de verhoudingstest gebruikt. maar leidde niet tot een resultaat.
dan ben ik overgestapt op de test van raabe en dan kwam ik er wel.

Volgens mij is mijn berekening te lang

Mike
Student universiteit BelgiŽ - zaterdag 16 april 2022

Antwoord

Uit wat op je foto staat kan ik geen wijs worden. Ik zie niet waar de cosinussen bovenaan vandaan komen, en de onderste regel gaat wel erg snel ik zie niet hoe je op die `equivalente' breuk uitkomt.
En ik zie ook de uitdrukking voor de test van Raabe niet.

Het kan wat efficiŽnter: we hebben
$$a_n=n^2\cdot\sin(n^{-3})\cdot\ln\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac13}\right)
$$Daar kunnen we dit van maken:
$$\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac13\ln\left(1+\frac1n\right)=
\frac13\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac1n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}
$$Omdat $\lim_n\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}=1$ en $\lim_n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}=1$ volgt nu dat
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac1{3n^2}}=1
$$De reeks convergeert dus.

Op mijn kladpapier deed ik het volgende: $\sin(n^{-3})\sim n^{-3}$, en
$\frac13\ln(1+\frac1n)\sim\frac1{3n}$ en dus
$$a_n\sim n^2\cdot n^{-3}\cdot\frac1{3n}\sim\frac1{3n^2}
$$en toen heb ik netjes de limiet uitgerekend.

Naschrift: de beheerder heeft de andere afbeeldingen gevonden en ik kan kort zijn: je beide redeneringen kloppen niet.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 16 april 2022



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3