De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Re: Reeksen van getallen

 Dit is een reactie op vraag 93538 
bij het voorbeeld (1-1/n)n zou ik het ook niet toepassen want dan krijg je 1 tot oneindig wat een onbepaaldheid is.
maar oneindig tot oneindig is geen onbepaaldheid.
de voorwaarde van asymptotische equivalentie( f(x) $\sim $ f(x)) is dat lim x $\to $ $\infty $ g(x)/f(x) =1

als ik bv zeg dat n-1/n $\sim $ n voor n $\to $ $\infty $ dan krijg je inderdaad limiet 1.

Op dit ogenblik kan ik het moeilijk navragen omdat het paasvakantie is. Misschien kan je een second opinion vragen over mijn berekening aan iemand anders.

Mike
Student universiteit België - woensdag 13 april 2022

Antwoord

Het probleem met je aanpak is dat je de onbepaaldheid $1^\infty$ vervangt door een andere, namelijk $\eqalign{\frac\infty\infty}$.
Het klopt dat $\eqalign{n-\frac1n}$ en $n$ asymptotisch equivalent zijn, maar dat zegt dan weer niets over hun machten als daarin de exponenten ook naar oneindig gaan.

Ik zou zelf in de gegeven breuk teller en noemer door $n^n$ delen; dat geeft
$$\frac{n^{n-\frac1n}}{(n-\frac1n)^n}=\frac{n^{-\frac1n}}{(1-\frac1{n^2})^n}
=\frac1{\sqrt[n]{n}\cdot(1-\frac1{n^2})^n}
$$Nu geldt $\lim_n\sqrt[n]{n}=1$; dit is een bekende standaardlimiet, zie bijvoorbeeld hier.

Ook geldt $\lim_n(1-\frac1{n^2})^n=1$, dus jouw limiet is gelijk aan $1$. Die laatste volgt door insluiten:
$$1 > \left(1-\frac1{n^2}\right)^n > 1-\frac1n
$$de eerste ongelijkheid is duidelijk, de tweede volgt uit de Ongelijkheid van Bernoulli.

Maar de redenering uit het eerste antwoord is goed genoeg: de limiet van de rij, zo die bestaat, is in ieder geval niet gelijk aan $0$; en daar was het uiteindelijk om te doen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 april 2022
 Re: Re: Re: Reeksen van getallen 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3