De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Reeksen van getallen

Beste,

Ik moet bepalen of de reeksen (n^(n-1/n))/(n-1/n)^n met n=2 tot $\infty $
convergeert of divergeert. Volgens mijn berekening divergeert ze en zo staat het ook in het boek.

Wat ik bij zo'n vraag altijd doe is eerst de limiet berekenen van n naar $\infty $ want als deze al niet 0 is kan je al besluiten dat ze divergent is.

Deze limiet is niet zo simpel om op te lossen. Wat ik deed is asymptotische equivalentie gebruiken. Nu weet ik niet of je dat mag toepassen op een limiet.

Ik gebruikte dat n-1/n asymptotisch equivalent is met n op n naar $\infty $ .
dan wordt het wel heel simpel want dan is de limiet gewoon 1.

Ik weet niet of mijn redenering klopt.

Mike
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 12 april 2022

Antwoord

Die redenering moet echt wat voorzichtiger. Gebruik makend van de wetenschap dat waarschijnlijk die limiet op 1 moet uitkomen ga ik het volgende doen:

Voor n $\to $ $\infty $ geldt:

(n^(n-1/n))/(n-1/n)n $>$ (n^(n-1/n))/(nn) = n^(-1/n)

Dan schrijf ik die macht even anders:
n^(-1/n) = e^ln(n^(-1/n)) = e^((-1/n)ln(n))

Nu is lim n $\to $ $\infty $ ln(n)/n = 0 (dit is een standaard limiet)

Dus die oorspronkelijke limiet kan nu nooit kleiner worden dan 1.

Met vriendelijke groet
JaDeX

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 12 april 2022
 Re: Reeksen van getallen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3