WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Normaaldeler

Geachte,

Ik zit vast bij een oefening. Je moet bewijzen dat als G orde 60 heeft, H een normaaldeler is van G van orde 6 of 12, en G 6 Sylow 5-deelgroepen heeft, G dan ook een normaaldeler van orde 2, 3 of 4 heeft. Ik dacht te bewijzen dat het centrum van H noodzakelijk orde 2, 3 of 4 moet hebben, want dan is het gestelde bewezen. Maar dat is me nog niet gelukt.

Alvast dank
Laure
Student universiteit België - zondag 14 november 2021

Antwoord

Stel eens dat H een normaaldeler van orde 6 is, dan heeft H een element a van orde 2 en een element b van orde 3.
De elementen van H van orde 3 zijn dan dus b en b^2. Als je b met een g\in G conjugeert dan zit gbg^{-1} weer in H en heeft orde 3, dus gbg^{-1} is gelijk aan b of b^2: de ondergroep \{e,b,b^2\} is dus gesloten onder conjugeren in heel G en dus een normaaldeler. Dit argument werkt niet voor a, omdat H isomorf met S_3 kan zijn en dus drie elementen van orde 2 kan hebben; als H cyclisch is lukt het weer wel want dan heeft H één element van orde 2.

Het andere geval is als H van orde 12 is. Kijk naar de aantallen Sylow 2-ondergroepen en 3-ondergroepen, noem die n_2 en n_3.
Dan weten we n_2\in\{1,3\} en n_3\in\{1,4\}.
Als n_2=1 zijn we klaar: de ene Sylow 2-ondergroep is, net als hierboven, een normaaldeler van G, en van orde 4; als n_3=1 zijn we op dezelfde manier ook klaar.

Om te bewijzen dat n_2=1 of n_3=1 stellen we dat n_3=4. Dan zijn er 8 elementen van H van orde 3, er blijven dus nog vier elementen over en die moeten dan wel de enige Sylow 2-ondergroep vormen, en dus n_2=1.

Overigens: ik heb niet gebruikt dat G zestig elementen heeft, en ook niet dat er zes Sylow 5-ondergroepen zijn.
Daarnaast claimt onderstaande wikipediapagina dat een groep van orde 60 met zes Sylow 5-ondergroepen enkelvoudig is, en dus helemaal geen normaaldelers heeft. Het lijkt dus dat de opgave niet helemaal goed gesteld is.
Zie Wikipedia: Sylow theorems

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 november 2021