De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Bepaling limieten via definitie 6

1) Bewijs rechterlimiet √x voor (x$\to$0) = 0

Definitie : Voor iedere e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ x $<$ d
dit impliceert dat |√x-0| $<$ e

Kies e $>$ 0

Noteer f(x) = √x

dan domein van f = positieve reŽle getallen
en beeld van f = positieve reŽle getallen

|√x-0| = |√x| = √x

Om een geschikte d te vinden gebruiken we de ongelijkheid |√x-0| = √x $<$ e wat we via kwadratering verder kunnen herschrijven als x $<$ e2

Kies dan d = e2 zodanig dat
als 0 $<$ x $<$ d dit impliceert dat |√x-0| $<$ e

2) Stel a een positief reŽel getal groter dan 0
Bewijs limiet√x voor (x$\to$a) = √a

Definitie : Voor iedere e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ |x-a| $<$ d dit
impliceert dat |√x-√a| $<$ e

Kies e $>$ 0

Noteer f(x) = √x

met domein van f = positieve reŽle getallen
en beeld van f = positieve reŽle getallen

Onderstel dat we alle x-en groter dan 0 nemen

Vervolgens gaan we |√x-√a| herleiden door deze uitdrukking te vermenigvuldigen met
(√x+√a)/(√x+√a) = 1

|√x-√a| =
{|√x-√a|.(√x+√a)}
/(√x+√a)

Aangezien √x+√a $>$ 0 mag je schrijven (√x+√a) = |√x+√a|

|√x-√a| =
{|√x-√a|.|√x+√a|}
/(√x+√a)

of

|√x-√a| =
{|(√x-√a).(√x+√a)|}
/(√x+√a)

of

|√x-√a| =
|x-a|/(√x+√a)

Er geldt tevens (√x+√a) $>$ √a
zodat 1/(√x+√a) $<$ 1/√a

dan

|√x-√a| $<$ |x-a|/√a

Om een geschikte d te vinden gebruiken we de ongelijkheid
|√x-√a| $<$ |x-a|/√a $<$ e

Uit |x-a|/√a $<$ e volgt |x-a| $<$ √a.e

Kies dan d = √a.e $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ |x-a| $<$ d
dit impliceert dat |√x-√a| $<$ e

Zijn beide redeneringen correct en zijn de diverse stappen voldoende duidelijk neergeschreven ?

Met dank !

Rudi

Rudi
Ouder - dinsdag 14 september 2021

Antwoord

Over het algemeen ziet het er goed uit, alleen de woordkeus is hier en daar niet goed.

"Kies $\varepsilon > 0$": hier is "kies" niet het goede woord, het suggereert dat wij invloed hebben op de grootte van $\varepsilon$ en die hebben we niet. We stellen ons passiever op: "Laat $\varepsilon > 0$ gegeven zijn", of "Zij $\varepsilon >0$".

"Noteer $f(x)=\sqrt x$": dit heeft geen functe want die $f(x)$ zie ik verder niet meer.

"Kies dan $\delta \dots$ zodanig dat $\dots$": het "zodanig dat" heeft onder wiskundigen de functie dat het een nadere specificatie aankondigt en alle betekenissen in Van Dale wijzen ook in die richting. Gebruik het niet in de betekenis van "met als gevolg dat". Gebruik liever iets als "dan geldt dat".

Hoe ik het op zou schrijven.

Laat $a > 0$, in het algemeen geldt voor $x\ge0$ het volgende
$$|\sqrt x-\sqrt a| = \frac{|x-a|}{\sqrt x+\sqrt a} \le \frac1{\sqrt a}|x-a|
$$Zij nu $\varepsilon > 0$, neem dan $\delta=\varepsilon\cdot\sqrt a$. Dan geldt voor $x\ge 0$ met $|x-a|<\delta$ dat
$$|\sqrt x-\sqrt a| <\frac1{\sqrt a}\cdot\varepsilon\cdot\sqrt a=\varepsilon.
$$

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 14 september 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3