De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Re: Re: Wortel 2 is irrationaal

 Dit is een reactie op vraag 92645 
Ik begrijp de techniek achter een bewijs uit het ongerijmde. Het enige dat ik niet begrijp is waarom je begint met √2 = p/q met p en q ONDERLING ONDEELBAAR.

Waarom is het zo belangrijk dat p en q onderling ondeelbaar zijn?

Er wordt bij die beginstap blijkbaar vanuit gegaan dat een getal enkel rationaal is als de teller en noemer onderling ondeelbaar zijn. Maar 8/4 is toch ook rationaal bijvoorbeeld? Heeft dit te maken met de afspraak dat je een breuk steeds zo eenvoudig mogelijk moet noteren? Kan u dat stuk nog eens uitleggen?

Johan
2de graad ASO - zondag 5 september 2021

Antwoord

Elk rationaal getal is op vele manieren als een breuk te schrijven: je eigen breuken $4/8$ en $8/4$ geven getallen weer die ook door de breuken $3/6$ en $12/6$, of door $1/2$ en $2/1$ weergegeven kunnen worden. De laatste twee zijn de eenvoudigste: de $\operatorname{ggd}$ van teller en noemer is gelijk aan $1$.

Het bewijs van de irrationaliteit van $\sqrt2$ dat we hier bekijken heeft eigenlijk twee componenten:

1.
Elk rationaal getal is te schrijven als een onvereenvoudigbare breuk (dat is geen deel van de definitie maar iets dat je kunt bewijzen).

2.
Als $\sqrt2$ rationaal is dan is dat getal dus te schrijven als een onvereenvoudigbare breuk. En dat leidt dan tot de bekende tegenspraak. (In de bewijzen die je ziet wordt stap 1 vaak overgeslagen omdat die bij het rekenen met rationale getallen al vaak is voorgekomen en bekend wordt verondersteld.)

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 5 september 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3