De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

De Moivre

Hallo,

In mijn wiskundeboek staat dat de volgende trigonometrische gelijkheid moet worden bewezen: cos(3$\Phi$)=cos3$\Phi$-3cos$\Phi$sin2$\Phi$

Ik ben te werk gegaan door de cos(3$\Phi$) om te schrijven naar (cos$\Phi$+isin$\Phi$)3-isin(3$\Phi$). Wanneer ik deze uitkomst uitvermenigvuldig ontstaat er een grote formule, waarvan ik denk dat ik niet goed bezig ben. De andere weg die ik ben ingeslagen is door het rechterlid van de formule te bewerken. Alleen maak ik daarvan gebruik van de standaard rekenregels en niet van de stelling van de Moivre. Ook hier kom ik niet uit.

Kunt u me een richting aanwijzen welk pad ik moet bewandelen?

Erwin
Student universiteit - zaterdag 28 augustus 2021

Antwoord

Als het zonder De Moivre mag/moet: reken $\cos (\Phi + 2 \Phi)$ uit met de som- en verdubbelingsformule.

Met De Moivre: vul $n=3$ in. Je krijgt dan:
\[(\cos \Phi + i \sin \Phi)^3=\cos(3\Phi)+i\sin(3\Phi).\]De truc is nu om het linkerlid uit te werken en dan de reŽle delen aan elkaar gelijk te stellen.
\[cos^3 \Phi +3 cos^2 \Phi i \sin \Phi +3 \cos \Phi (-1) \sin^2 \Phi-i\sin^3 \Phi=\cos(3\Phi)+i\sin(3\Phi)\]Deze gelijkheid geldt nu dus enkel als het reŽle deel links gelijk is aan het reŽle deel rechts ťn het imaginaire deel links gelijk is aan het imaginaire deel rechts. Voor de formule die jij zoekt kijken we naar het reŽle deel:
\[cos^3 \Phi-3 \cos \Phi \sin^2 \Phi=\cos(3\Phi)\]

js2
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 28 augustus 2021
 Re: De Moivre 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3