De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Parabool

Beste,

Ik zit vast aan een bewijs en kan er niet aan uit hoe ik het kan oplossen. Kunt u mij hierbij helpen?

Op een parabool p met brandpunt F nemen we een punt D verschillend van de top O. De loodlijn in F op de as van P snijdt de parabool in de punten A en B. Het voetpunt van de loodlijn uit D op de as noemen we C.

Gevraagd: Bewijs dat een vierkant met zijde [CD] en een rechthoek met afmetingen |OC| en |AB| gelijke oppervlakten hebben.

Amber
3de graad ASO - donderdag 19 augustus 2021

Antwoord

Hallo Amber,

Bedenk dat een definitie van een parabool is: de verzameling punten waarvoor de afstand tot een brandpunt F gelijk is aan de afstand tot een richtlijn l. Zie deze figuur:

q92585img1.gif

Het punt O' is het voetpunt van de top van de parabool op de richtlijn l. Volgens deze definitie van een parabool moet gelden: |OF|=|OO'|. Deze afstanden noem ik d. Volgens diezelfde definitie geldt: |AF|=|AA'|. Hieruit volgt: |AF|=2d.

C is het voetpunt van D op de as van de parabool. De afstand FC noem ik a. Nu kunnen we de oppervlakte van de paarse rechthoek uitdrukken in d en a:

Opp. paarse rechthoek is 4d(a+d)=4ad+4d2

Bekijk nu punt D: volgens de definitie van de parabool geldt: |DF|=|DD'|, dus |DF|=2d+a. In driehoek FCD bereken je met pythagoras: |CD|2=4ad+4d2 (ga voor jezelf na dat dit juist is). Dus: de oppervlakte van het oranje vierkant is |CD|2=4ad+4d2. Dit is dezelfde oppervlakte die werd gevonden voor de paarse rechthoek.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 augustus 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3