De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Goniometrische integraal

 Dit is een reactie op vraag 92093 
Goede dag,Klaas Pieter,

Ik heb , na wat moeite de juiste(hoop ik toch...) oplossing gevonden van de hierboven gestelde integraal
I= (cotgx-cosex)2/sin2x
I= (cosx-1)2/(sin2^x)2
I= (1-cosx)2/1-cos2x)2
I= (1-cosx)2/(1-cosx)2(1+cosx)2
I= dx/1+cosx)2
I= dx/(cos2x/2)2
I= 1/4(dx/sec^4(x/2)
I= 1/4(cos^4(x/2)dx
I= 1/16(1+cosx)2
I= 1/16)(1+2cosx+cos2x)dx
I= (1/16){dx+2cosxdx++1/2)1+cos2x)dx
oplossing I:
=(1/16)x+(1/8) sinx+1/32x+1/64sin2x
=(3/32)x+(1/8)sinx+(1/64)sin2x
=3x/32+sinx/8+(sinx.cosx)/32+C
Ik hoop dat alles correct is berekend .
Dank voor je tijd en nog een fijne dag
Rik

Rik Le
Iets anders - vrijdag 30 april 2021

Antwoord

Het gaat mis bij de overgangen van regels 5, 6, en 7:

1. $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$; in regel 6 ontbreekt dus een factor $4$ in de noemer

2. Bij overgang van 6 naar 7 maak je van $\cos \frac x2$ ineens $\sec\frac x2$ (en is de factor $4$ er weer)

Het resultaat is dat je claimt dat $\frac1{(1+\cos x)^2}$ (regel 5) gelijk is aan $\frac1{16}(1+\cos x)^2$ (regel 9). Dat lijkt me niet correct.

Ik heb het volgende bedacht: de te integreren functie wordt
$$\frac{(\cos x -1)^2}{\sin^4x}
$$van de teller maken we $1+\cos^2x-2\cos x = \sin^2x+2\cos^2x-2\cos x$; dan houden we dit probleem over:
$$\int \frac1{\sin^2x}\,\mathrm{d}x +\int2\operatorname{cotan}^2x\cdot\frac1{\sin^2x}\,\mathrm{d}x -\int\frac2{\sin^4x}\cos x\,\mathrm{d}x
$$Elk van die drie is bekend of te doen met een substitutie.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 30 april 2021
 Re: Re: Goniometrische integraal 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3