De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Moeilijke integraal

Goede morgen,
Ik ben bezig met een lijst van 59,integralen op te lossen en stuit hier bij de 24 st oplossing op een probleem.
Het luidt:
Integer(sin4(2x).cos2(2x)dx.
Via splitsing en substitutie op te lossen.
Ik rekende:
I(1-cos2(2x))2.cos2(2x)dx
I(1-2cos2(2x)+cos^4(2x)cos2(2x)dx
I(cos2(2x)-2Icos^4(2x)+Icos^6(2x).
Graag een tip als het even kan. Hier loop ik wat verloren..
Met een goede tip gaat het wel lukken via substitutie ,denk ik. Maar ik slaag er niet in....
Groetjes en bedankt voor jullie hulp.
Rik

Rik Le
Iets anders - maandag 26 april 2021

Antwoord

Een mogelijkheid is juist $\cos^22x$ vervangen door $1-\sin^22x$, zodat er
$$\int\sin^42x-\sin^62x\,dx
$$komt, met substitutie $u=2x$ komt er dan
$$\frac12\int\sin^4u-\sin^6u\,du
$$Er is een reductieformule voor $\int\sin^nu\,du$, met partiele integratie:
$$\int\sin^nu\,du = -\sin^{n-1}u\cdot\cos u-\int-(n-1)\sin^{n-2}u\cos^2u\,du
$$Van de laatste maak je $(n-1)\int\sin^{n-2}u(1-\sin^2u)\,du$ en dat levert
$$\int\sin^nu\,du=-\sin^{n-1}u\cdot\cos u +(n-1)\int\sin^{n-2}u\,du-(n-1)\int\sin^nu\,du
$$Breng de $-(n-1)\int\sin^nu\,du$ naar links en je het een formule die $\int\sin^6u\,du$ reduceert tot $\int\sin^4u\,du$, en dat weer tot $\int\sin^2u\,du$.
Even rustig doorwerken dus.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 26 april 2021
 Re: Moeilijke integraal 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3