De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

ABC- Formule

Over het bewijs van ABC formule. Wij hebben het anders geleerd dan hier staat, namelijk ax2+bx+c = 0 door 4a delen, dus 4a2x2+4abx+4ac = 0, daarna staat er dat ze kwadraat splitsen gebruiken: (ax+b)2-b2+4ac. Kwadraat splitsen kan ik wel en ik begrijp waarom er -b2 wordt gedaan, maar wat ik niet begrijp is hoe aan (2ax+b)2 komen, en toch snappik kwadraat afsplitsen, maar bij deze vergelijking niet. Kunt u het me uitleggen?

H.
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zondag 30 maart 2003

Antwoord

Daar gaan we stap voor stap.
ax2 + bx + c = 0
Jij schrijft delen, maar we vermenigvuldigen met 4a.
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Let nu goed op wat er in de volgende regel gebeurt. We maken het daar mogelijk om "een kwadraat af te splitsen".
4a2x2 + 4abx + b2 - b2 + 4ac = 0
We tellen er iets bij (b2) en we trekken het er gelijk weer af (diezelfde b2). Daardoor verandert er niets aan het linker lid van de vergelijking (gelukkig maar). De eerste drie termen vormen nu dat kwadraat. Ik schijf ze even iets anders:
4a2x2 + 4abx + b2 = (2ax)2 + 2·(2ax)·(b) + (b)2
De middelste term 2·(2ax)·(b) is nu het dubbele van het product van (2ax) en (b), en die komen beide ook in het kwadraat voor, zodat
4a2x2 + 4abx + b2 = (2ax + b)2
Reken deze laatste vorm nog maar eens uit: (2ax+b)(2ax+b)=...
De oorspronkelijke vergelijking levert dan met dit resultaat:
4a2x2 + 4abx + b2 - b2 + 4ac = 0
(2ax + b)2 - b2 + 4ac = 0
(2ax + b)2 = b2 - 4ac .....(*)
En dan nu worteltrekken, aan beide kanten van het is-teken!
2ax + b = ±Ö(b2 - 4ac)
2ax = -b ±Ö(b2 - 4ac)
en daarna het geheel (beide kanten) delen door 2a en we hebben uitdrukkingen voor de beide wortels x van de oorspronkelijke vergelijking, mits ...
Want als b2 - 4ac 0 bestaan die iksen niet; zie ook de uitdrukking die hierboven aangegeven is met (*)!

Handige formule (p + q)2 = p2 + 2pq + q2
Leer 'em van links naar rechts EN van rechts naar links. Leer 'em ook toepassen!

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 30 maart 2003
 Re: ABC- Formule 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3