WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kwadratische congruentie

Beste

Ik weet niet zo goed hoe ik aan de volgende vraag kan beginnen: Beschouw (Z/pZ,+,.) met p priem. Bewijs dat er (p²+p)/2 kwadratische vergelijkingen X²+aX+b=0, met a,b element van Z/pZ, bestaan die 2 (mogelijks samenvallende) oplossingen hebben in Z/pZ.

In mijn notities heb ik over kwadratische congruenties enkel het criterium van Euler en x²=a(mod p) heeft juist 2 of geen oplossingen bewezen, en ik kan niet direct een link zetten met mijn vraag die ik nu moet bewijzen.

Kunt u mij aub op de goede weg zetten. Alvast dank ik u bij voorbaat.

Met vriendelijke groeten
Rafik
Rafik
Student universiteit België - zaterdag 21 november 2020

Antwoord

Dit is een eenvoudig telprobleem dat niets met diepe stellingen over congruenties te maken heeft.

Elke oplosbare kwadratische vergelijking is te ontbinden tot $(X-i)(X-j)=0$ met $i,j\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Omdat $i$ en $j$ ook gelijk mogen zijn heb je $\frac12(p^2+p)$ van dergelijke paren en dus net zoveel oplosbare vergelijkingen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 21 november 2020