WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Standaard oplossing kwadratische vergelijking

Voor een nogal grote opdracht wil ik mijn werk vereenvoudigen/versnellen door een kwadratische vergelijking (ax²+bx+c=y) op te laten lossen door Excel.

Een kwadratische vergelijking kan je alleen oplossen als je 3 bekende coördinaten hebt.

Op een papier heb ik het geprobeerd het alsvolgt op te lossen:

gegeven 1: x=A1; y=B1
gegeven 2: x=A2; y=B2
gegeven 3: x=A3; y=B3

Vervolgens stel je de eerste functievoorschiften op
1) a*A1²+b*A1+c=B1
2) a*A2²+b*A2+c=B2
3) a*A3²+b*A3+c=B3

Voor elke formule stel je een variable a,b,c gelijk aan de gegevens.

Daarna moet je 2 keer substitueren.

Normaal vul je het met getallen in en kan je makkelijker tussentijds vereenvoudigen.

Het doel is om een formule te krijgen voor a, b en c zonder in elke formule nog een afhankelijk a,b of c te hebben.
Dus:
a=...(bv =A1+B2/A3)
b=...
c=...

Helaas toen ik een test draaide kwam ik niet goed uit. Ik denk dat de afleiding dus niet helemaal goed is gegaan omdat je een grote formule krijgt.

Zijn hier al standaard formules voor?(dus voor a, b en c) Kan ik eventueel ook mijn volledige oplossing doorgeven voor controle?

Bedankt voor enige hulp,

Met vriendelijke groet,

Koen
Student hbo - woensdag 29 juli 2020

Antwoord

Hallo Koen,

Het is best te doen om formules voor a, b en c op te stellen, maar handiger is om gebruik te maken van standaardfuncties binnen Excel. In jouw geval moet je een stelsel oplossen van 3 lineaire vergelijkingen met 3 onbekenden a, b en c. Voor de duidelijkheid schrijf ik je vergelijkingen in iets andere vorm:

x₁²·a+x₁·b+1·c=y₁
x₂²·a+x₂·b+1·c=y₂
x₃²·a+x₃·b+1·c=y₃

De waarden van x₁, x₂, x₃ staan bij jou in de cellen A1 t/m A3, de bijbehorende waarden van y in de cellen B1 t/m B3.

In matrixnotatie noteren we dit stelsel vergelijkingen als volgt:

In Excel maken we de linker matrix in de cellen [A5:C7] door deze cellen als volgt te vullen:

A B C
5 x₁² x₁ 1
6 x₂² x₂ 1
7 x₃² x₃ 1

Uiteraard gebruik je celverwijzingen: in cel A5 staat de formule =A1^2, in cel B5 staat =A1 enz.

De waarden van a, b en c vinden we door de kolommatrix met daarin de y-waarden te vermenigvuldigen met de inverse van de matrix met x-waarden:

In Excel berekenen we de inverse matrix in de cellen [A9:C11] als volgt:
Selecteer cel A9
Type de formule =INVERSEMAT(A5:C7)
Sluit af met Shift-Enter
(Shift-Enter is omdat het resultaat niet één getal is in één cel, maar een matrix met 9 waarden in 9 cellen)

Als laatste berekenen we de waarden van a, b en c in de cellen E9:E11 door deze inverse matrix te vermenigvuldigen met de kolommatrix [B1:B3] waarin de y-waarden staan. Dit doen we als volgt:
Selecteer cel E9
Type de formule =PRODUCTMAT(A9#,B1:B3)
Sluit weer af met Shift-Enter
De cellen E9-E11 bevatten nu de gezochte coëfficiënten van je kwadratische vergelijking.

Let op: In verschillende versies van Excel worden verschillende namen voor de genoemde functies gebruikt. Het kan dus zijn dat je even moet zoeken wat de juiste naam is voor de functie om de inverse van een matrix te berekenen en om matrices met elkaar te vermenigvuldigen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 29 juli 2020