WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Binomiale verdeling

Beste,

Ik heb volgende vraag proberen oplossen. Sommige deelvragen zijn gelukt (denk ik), maar bij anderen weet ik niet goed wat ik precies moet doen. Ik heb deze hoofdstuk nog niet helemaal onder knie, omdat het zelfstudie is.

De situatie is al volgt: één hoofdspeler speelt tegen honderd tegenspelers. Elke vraag die gesteld wordt heeft 3 mogelijke antwoorden waarvan steeds eentje dat goed is. Er zijn verschillende rondes mogelijk. Als de hoofdspeler een goed antwoord geeft, gaat hij door naar de volgende ronde alsook alle tegenspelers die goed antwoorden. De rets valt af. Als de hoofdspeler fout antwoordt dan stopt het spel.

a) Bij de eerste vraag antwoordt de hoofdspeler goed. 48 van de tegenspelers weten het antwoord. De overige 52 gaan moeten gokken. Wat is de kans dat er meer dan 65 tegenspelers naar de volgende ronde gaan?

Ik dacht: het gaat hier om een binomiale verdeling. p=1/3 en q= 2/3. We zoeken P(X$>$17)= 1-P(X$\le$17). Dit dan uitrekenen met GRM waarbij n=52

b) Nu blijkt dat 70 tegenspelers door zijn naar de tweede ronde. Bij vraag 2 kent de hoofdspeler het antwoord. Een deel van de tegenspelers ook (aantal niet gekend). De moet gokken. Uiteindelijk gaan 54 tegenspelers door naar de derde ronde. Hoeveel van de 70 tegenspelers bij vraag twee hebben naar verwacht gegokt?

Ik dacht: we moeten de verwachtingswaarde bepalen. Dus n*p= 70*(1/3)?

c) Na elk goed antwoord verdient de hoofdspeler geld. Dat bedrag = (a/t)*1000 waarbij a= aantal afvallers en t= totaal aantal tegenspelers bij die vraag. De hoofspeler hoop dat hij na vraag 3 al meer dan 100 000 euro heeft verdiend (rekening houdend met de resultaten van de eerste twee vragen zoals hierboven).Bereken hoeveel tegenspelers er bij vraag 3 minimaal moeten afvallen om dit te bereiken.

Bij deze vraag weet ik het niet zo goed. Enige dat ik kan bedenken is P((a/70)$>$100 000 - bedrag verdiend in vraag 1 en 2)?

d) Op een gegeven moment is er nog één tegenspeler over. De vragen die nu gesteld worden, zijn zo moeilijk dat zowel de hoofdspeler als zijn tegenspeler moeten gokken. Wat is de kans dat het spel nu na precies twee vragen is afgelopen met de hoofdspeler als winnaar?

Ik dacht: (1/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)?

e) Wat we weten is dat als alle tegenspelers bij vraag 1 fout antwoorden dat de hoofspeler gewonnen heeft (100 000) en dat het spel is afgelopen. Als alle tegenspelers goed antwoorden dan heeft hij niks verdiend. Het is dus beter dat een deel van de tegenspelers doorgaat naar de volgende ronde. Neem aan dat het spel na de tweede vraag is afgelopen en de hoofdspeler heeft gewonnen. Wat is dan het bedrag dat hij maximaal verdiend kan hebben in deze situatie?

Ik heb geen enkel idee hoe ik dit kan oplossen.

Alvast bedankt en mijn excuses voor de uitgebreide vraag!
Jan
3de graad ASO - woensdag 22 april 2020

Antwoord

a) dat klinkt goed.
b) dat is fout: er zijn mensen die gokken, noem dat aantal even $g$ en dus $70-g$ mensen die het weten. Er gaan dan naar verwachting $\frac13g+(70-g)$ mensen door. Ik zou dan $\frac13g+(70-g)=54$ oplossen om $g$ te schatten.
c) Zoals het er nu staat: nooit. Immers $\frac at\le1$ dus hij wint per ronde hooguit 1000 Euro. Vermoedelijk is de winstformule anders.
d) Dat kan niet kloppen want die regel zou ook bij tien extra vragen moeten gelden, maar dan is je kans groter dan $1$. Er zijn zestien mogelijke spelverlopen met twee vragen (voor het gemak spelen we door als de hoofdspeler de eerste fout heeft); daar is er maar een van waarbij de hoofdspeler bij de tweedebvraag wint en die heeft als kans het product van de kansen die jij optelt.
e) Bij (c) hebben we gezien dat de formule niet klopt; als we de correcte uitdrukking hebben zien we verder.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 22 april 2020