De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Volume integraal

Ik heb een vraag over de integraal:

$\int{}$dx$\int{}$dz$\int{}$sin(ln(y))z/x2(y-1)(e-y)

De grenzen zijn: 1 tot e, 1 tot √e en x tot z2, respectievelijk.

Ik zie niet hoe ik deze functie moet primitiveren aangezien het mij niet met partieel of substitutie methodes lukt.

Alvast bedankt voor de hulp,
Bram

Bram
Student universiteit - zondag 19 april 2020

Antwoord

Een van de dingen die hier waarschijnlijk werkt is veranderen van integratievolgorde. Ik heb mijn twijfels over de gedaante van de integraal; ik lees hem als volgt
$$\int_1^e\int_1^{\sqrt e}\int_x^{z^2} \frac{\sin(\ln y)\cdot z}{x^2(y-1)(e-y)} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x
$$Hier heb je aan de buitenkant de rechthoek gegeven door $1\le x\le e$ en $1\le z\le\sqrt e$, maar daarbinnen kan $x$ zowel kleiner als groter dan $\sqrt z$ zijn en dan zou je de integraal over twee deelgebieden apart moeten berekenen.

Als je als extra eis meeneemt dat $x\le z^2$ moet gelden kun je de integraal makkelijk berekenbaar maken
Van $1\le x\le e$, $\sqrt x\le z\le\sqrt e$, en $x\le y\le z^2$ kunnen we door volgorde veranderen maken: $1\le y\le e$, $1\le x\le y$, en $\sqrt y\le z\le\sqrt e$, de integraal wordt dan
$$\int_1^e\int_1^y\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} \frac{\sin(\ln y)}{(1-y)(y-e)}\cdot \frac1{x^2}\cdot z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
$$de integralen naar $x$ en $z$ zijn makkelijk: $\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} z\,\mathrm{d}z=\frac 12(e-y)$, en $\int_1^y\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1-\frac1y=\frac{1-y}y$.
Dan blijft
$$\int_1^e\frac12\frac1y\sin(\ln y)\,\mathrm{d}y
$$over, en die is nu makkelijk te doen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 19 april 2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb