WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoek zoeken in volgende vergelijking

Goede dag,
Ik heb problemen met het vinden vande hoek volgende opgave.

Gegeven: sin²a=sin²b+sin²c
Gevraagd: hoek a

Ik nam de omzetting van de sinus naar de cosinus via
1-cos²a=1-cos²b+1-cos²c
1-cos²a=2-(cos²b+cos²c)
-1-cos²a--(cos²b+cos²c)
1+cos²a=cos²b+cos²c
1+((B²+C²-A²)/2BC))²=((A²+C²-B²)/2AC))²+((A²+B²-C²)/2AB))²
En dan wordt het moeilijk en denk dat het eenvoudiger kan.
Ik probeer de sinusregel en herneem:
sin²a=sin²b+sin²c
(Asin(b)/B)²=(Bsin(a)/B)²+(Csin(a)/A)²
A²sin²(b)/B²=B²sin²a/A²+C²sin²(a)/A²
A²sin²b/B²=((B²+C²))sin²(a)/A²

Maar zo kom ik er ook niet. Vier andere oefeningen in deze aard loste ik zonder problemen op. Kan iemand mij wat hulp geven?
Groetjes
Rik Le
Iets anders - zondag 29 december 2019

Antwoord

Dag Rik,
Ik ga ervan uit dat alles zich afspeelt in een driehoek, immers, je gebruikt de sinus- en de cosinusregel. Dat laatste is natuurlijk niet zo verstandig, omdat je helemaal niets van de zijden weet.
Ik schrijf de hoeken met hoofdletters. Dat leest en schrijft wat makkelijker. Of het de kortste weg is naar het antwoord, laat ik aan jou om uit te zoeken.
Je kan natuurlijk na elke regel die ik schrijf stoppen met lezen en zelf verdergaan.
Nu is (in het rechterlid):
sin²C = sin²(180° - (A + B)) = sin²(-(A + B)) = sin²(A + B)
Zodat:
sin²C = (sinAcosB + cosAsinB)²
of:
sin²C = sin²Acos²B + cos²Asin²B + 2sinAcosAsinBcosB
Dan kan je een en ander samennemen, met het linkerlid.
sin²A(1 - cos²B) = sin²B(1 + cos²A) + 2sinAcosAsinBcosB
of:
sin²Asin²B = sin²B(1 + cos²A) + 2sinAcosAsinBcosB
Dit geeft dan na opnieuw samennemen:
sin²B(sin²A - cos²A - 1) = 2sinAcosAsinBcosB
of (met sin²A - 1 = - cos²A):
-2sin²Bcos²A = 2sinAcosAsinBcosB
Zodat, na deling door 2sinBcosA (mits ongelijk aan 0; waarover hierna meer):
sinAcosB + cosAsinB = 0 of sin(A + B) = 0, en dit kan niet (ga dit na)!!
Dus, terug naar de deling:
sin B = 0 OF cos A = 0
sin B = 0 kan niet (ga dit na), zodat cos A = 0.
En dat leidt tot A = 90°.

En een en ander is nu eenvoudig in een A-rechthoekige driehoek vast te stellen.
Groetend (met wensen voor een voorspoedig 2020),

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 29 december 2019